【理論】令和6年 (下期) 問8｜交流電圧源の直列回路における合成電圧の最大値と位相の計算問題

まずは問題の構成を整理いたします：

【与えられた情報】

・\( e_1 = E \sin(\omega t + \theta) \, \mathrm{[V]} \)

・\( e_2 = \sqrt{3}E \sin(\omega t + \theta + \frac{\pi}{2}) \, \mathrm{[V]} \)

・二つの電圧源が直列接続されている

【求めるもの】

・合成電圧 \( v \) の最大値（\( e_1 \) の最大値の何倍か）

・合成電圧 \( v \) の位相（\( e_1 \) 基準で何ラジアン進みか遅れか）

【解法のポイント】

交流の合成は、ベクトル図を使って視覚的に解くのが最も分かりやすい方法です。各電圧源をベクトルとして表現し、ベクトルの合成として解いていきます。

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【交流電圧の基本式の理解】

一般的な正弦波交流電圧は以下の形で表されます：

→　横スクロールして下さい　→

\[ v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta) \]

ここで：

・\( V_m \)：最大値（振幅）\( \mathrm{[V]} \)

・\( \omega \)：角周波数 \( \mathrm{[rad/s]} \)

・\( t \)：時間 \( \mathrm{[s]} \)

・\( \theta \)：初期位相 \( \mathrm{[rad]} \)

【本問題での各電圧源の解析】

\( e_1 = E \sin(\omega t + \theta) \) → 最大値：\( E \)、初期位相：\( \theta \)

\( e_2 = \sqrt{3}E \sin(\omega t + \theta + \frac{\pi}{2}) \) → 最大値：\( \sqrt{3}E \)、初期位相：\( \theta + \frac{\pi}{2} \)

つまり \( e_2 \) は \( e_1 \) よりも \( \frac{\pi}{2} \) だけ位相が進んでいます。

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【ベクトル図の基本的な描き方】

交流電圧をベクトルで表現する場合：

・ベクトルの長さ = 電圧の最大値

・ベクトルの角度 = 位相

・回転方向は反時計回りが正（進み位相）

【\( e_1 \) 基準のベクトル設定】

1. \( e_1 \) を基準として水平右向き（0°）に描きます

・長さ：\( E \)

・角度：0°（基準）

2. \( e_2 \) は \( e_1 \) より \( \frac{\pi}{2} \) 進んでいるので：

・長さ：\( \sqrt{3}E \)

・角度：\( \frac{\pi}{2} \)（90°上向き）

【合成ベクトルの考え方】

直列接続では電圧が加算されるので、\( \vec{v} = \vec{e_1} + \vec{e_2} \) となります。

これはベクトルの頭尻法則で求めることができます。

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【ベクトル図の読み取り】

図から以下のことが読み取れます：

1. 各ベクトルの特徴

・\( \vec{e_1} \)（赤）：長さ 1、水平右向き（0°）

・\( \vec{e_2} \)（青）：長さ \( \sqrt{3} \)、垂直上向き（90°）

・\( \vec{v} \)（オレンジ）：合成ベクトル

2. 直角三角形の形成

\( \vec{e_1} \) と \( \vec{e_2} \) が垂直に配置されているため、直角三角形が形成されています。

・底辺：\( |\vec{e_1}| = 1 \)（\( E \) を1として正規化）

・高さ：\( |\vec{e_2}| = \sqrt{3} \)

・斜辺：\( |\vec{v}| = ? \)（これを求める）

3. 位相関係

合成ベクトル \( \vec{v} \) は \( \vec{e_1} \) を基準として、ある角度だけ進み位相になっています。

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【ピタゴラスの定理による斜辺の計算】

直角三角形の各辺：

・底辺（\( e_1 \) の大きさ）：1

・高さ（\( e_2 \) の大きさ）：\( \sqrt{3} \)

・斜辺（\( v \) の大きさ）：\( |v| \)

ピタゴラスの定理を適用すると：

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\[ \begin{aligned} |v|^2 &= 1^2 + (\sqrt{3})^2 \\[10pt] |v|^2 &= 1 + 3 \\[10pt] |v|^2 &= 4 \\[10pt] |v| &= 2 \end{aligned} \]

【角度の計算】

合成ベクトルの角度 \( \phi \) は：

→　横スクロールして下さい　→

\[ \tan \phi = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \]

よって \( \phi = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \, \mathrm{[rad]} \) （60°）

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【特別な角度の三角比】

電験三種でよく出る重要な三角比の値：

30°（\( \frac{\pi}{6} \) rad）の場合：

\( \sin 30° = \frac{1}{2} \)、\( \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)、\( \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

45°（\( \frac{\pi}{4} \) rad）の場合：

\( \sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} \)、\( \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} \)、\( \tan 45° = 1 \)

60°（\( \frac{\pi}{3} \) rad）の場合：

\( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)、\( \cos 60° = \frac{1}{2} \)、\( \tan 60° = \sqrt{3} \)

【今回の問題での確認】

\( \tan \phi = \sqrt{3} \) なので、\( \phi = 60° = \frac{\pi}{3} \, \mathrm{[rad]} \)

この関係は電験三種では頻出なので、必ず暗記しておきましょう。

図を見ると、底辺1、高さ\( \sqrt{3} \)の直角三角形で、斜辺が2、角度が60°となっていることが確認できます。

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【解答の整理】

（ア）最大値の倍率

計算結果：\( |v| = 2 \)

\( e_1 \) の最大値を1とした場合、合成電圧 \( v \) の最大値は2

したがって、合成電圧の最大値は \( e_1 \) の最大値の 2倍

（イ）位相差

計算結果：\( \phi = \frac{\pi}{3} \, \mathrm{[rad]} \)

合成電圧 \( v \) の位相は \( e_1 \) を基準として \( \frac{\pi}{3} \) ラジアン

（ウ）進みか遅れか

ベクトル図を見ると、合成ベクトル \( \vec{v} \) は基準ベクトル \( \vec{e_1} \) よりも反時計回りに回転した位置にあります。

反時計回りは進み位相を意味するので、進み

【選択肢との照合】

（ア）2、（イ）\( \frac{\pi}{3} \)、（ウ）進み → 選択肢(3)

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【他の選択肢の検討】

選択肢(1)：\( \frac{1}{2} \)、\( \frac{\pi}{3} \)、進み

最大値が \( \frac{1}{2} \) は明らかに間違い。2つのベクトルを合成すれば、個々のベクトルより大きくなるはずです。

選択肢(2)：\( 1+\sqrt{3} \)、\( \frac{\pi}{6} \)、遅れ

最大値 \( 1+\sqrt{3} \approx 2.73 \) は、ベクトルを算術的に足した値。これはベクトル合成ではなく、スカラー加算の間違い。また位相も角度も間違い。

選択肢(3)：2、\( \frac{\pi}{3} \)、進み

✅ 正解！すべて計算結果と一致

選択肢(4)：\( \sqrt{3} \)、\( \frac{\pi}{6} \)、遅れ

最大値が \( \sqrt{3} \) は \( e_2 \) の大きさと同じ。これは合成を間違えた結果。位相と進み遅れも間違い。

選択肢(5)：2、\( \frac{2\pi}{3} \)、進み

最大値は正しいが、位相が \( \frac{2\pi}{3} \) は120°で間違い。

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【進み遅れの判定方法】

1. ベクトル図での判定

・基準ベクトル（今回は \( \vec{e_1} \)）から見て：

　- 反時計回り → 進み位相

　- 時計回り → 遅れ位相

2. 数式での判定

位相差を \( \Delta \phi \) とすると：

・\( \Delta \phi > 0 \) → 進み位相

・\( \Delta \phi < 0 \) → 遅れ位相

3. 今回の問題での適用

\( e_1 \) の位相：0（基準）

\( v \) の位相：\( +\frac{\pi}{3} \)

位相差：\( \frac{\pi}{3} - 0 = +\frac{\pi}{3} > 0 \) → 進み

【記憶のポイント】

・時計の針と同じ向き（時計回り）= 時間が遅れる = 遅れ位相

・時計の針と逆向き（反時計回り）= 時間が進む = 進み位相

このイメージで覚えると間違えにくいです。

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【交流合成問題の標準解法手順】

ステップ1：問題の理解

・各交流電圧の最大値と位相を把握

・直列か並列かの接続方法を確認

・求めるものを明確化（最大値、位相、進み遅れ）

ステップ2：ベクトル図の作成

・基準となる電圧を水平右向きに設定

・他の電圧を適切な位相差で配置

・ベクトルの長さは最大値に比例させる

ステップ3：ベクトル合成

・直列接続 → ベクトルの加算

・並列接続 → 電流ベクトルの処理が必要

・幾何学的方法（三角比）または複素数計算

ステップ4：数値計算

・ピタゴラスの定理で合成ベクトルの大きさ

・逆三角関数で合成ベクトルの角度

・特別な角度（30°, 45°, 60°）の活用

ステップ5：結果の解釈

・最大値の倍率計算

・位相差の算出

・進み遅れの判定

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【重要知識のまとめ】

1. 特別な角度の三角比（必須暗記）

・\( \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \)、\( \tan 45° = 1 \)、\( \tan 60° = \sqrt{3} \)

・\( \sin 30° = \frac{1}{2} \)、\( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

・\( \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)、\( \cos 60° = \frac{1}{2} \)

2. ベクトル合成の基本

・直列接続では電圧ベクトルを加算

・ピタゴラスの定理：\( c^2 = a^2 + b^2 \)（直角の場合）

・一般的な合成：\( c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta \)

3. 位相の表現

・ラジアン表記：\( \pi \, \mathrm{rad} = 180° \)

・\( \frac{\pi}{6} = 30° \)、\( \frac{\pi}{4} = 45° \)、\( \frac{\pi}{3} = 60° \)

・進み遅れ：反時計回り = 進み、時計回り = 遅れ

4. 実用的なテクニック

・ベクトル図は必ず描く（視覚的理解が重要）

・基準を明確にして相対的に考える

・計算前に大まかな答えを予想する

・検算で答えの妥当性を確認する

【電験三種での応用範囲】

・RLC回路のインピーダンス合成

・三相交流の線間電圧と相電圧

・変圧器の等価回路

・電力の有効・無効・皮相成分

今日学んだベクトル合成の考え方は、これらすべての基礎になっています！

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今日学んだ内容が実際にどこで使われているか、考えてみますと...

家庭のコンセントは100Vの交流ですが、これも正弦波ですよね。エアコンや冷蔵庫などの電化製品では、内部で複数の交流電圧が合成される場面があるのではないでしょうか。

また、工場などの三相交流では、3つの位相が120°ずつずれた交流が使われていると聞いたことがあります。今日のベクトル合成の考え方は、そういった複雑な交流システムを理解するための基礎になりそうです。

変圧器でも、一次側と二次側で電圧や位相の関係があるでしょうし、今日学んだ位相の進み遅れの概念が重要になるのかもしれません。

まだまだ実際の応用は難しく感じますが、今日の基本がとても大切だということは分かりました！

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先生のお話を聞いて、交流がこんなに身近で重要だとは思いませんでした！

三相交流での120°位相差は、今日の90°の場合の発展版なのですね。3つのベクトルを合成する計算は、今日の2つのベクトル合成より複雑になりそうですが、基本的な考え方は同じということでしょうか。

LEDの調光回路や電子レンジにも使われているというのは驚きです。普段何気なく使っている家電の中で、今日学んだベクトル合成が実際に働いているんですね。

力率改善という言葉は聞いたことがありますが、これも位相に関係があるのでしょうか。有効電力と無効電力の関係も、今日のベクトル図のような考え方で理解できるのかもしれませんね。

交流の世界がこんなに広くて深いとは...今日は本当に基礎中の基礎を学んだのだと実感しました。もっと勉強したくなってきました！

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【今日の学習成果と次のステップ】

習得できたこと：

・交流電圧のベクトル表現方法

・ベクトル合成による電圧の加算

・ピタゴラスの定理と逆三角関数の活用

・進み遅れ位相の判定方法

・特別な角度の三角比の重要性

次に学ぶべき内容：

1. 複素数による交流計算

　・ベクトル図を数式で表現する方法

　・オイラーの公式の活用

2. RLC回路のインピーダンス

　・抵抗、リアクタンスの合成

　・共振現象の理解

3. 三相交流システム

　・星形結線と三角形結線

　・線間電圧と相電圧の関係

4. 電力の概念

　・有効電力、無効電力、皮相電力

　・力率と位相角の関係

今日の基礎がしっかりしているので、これらの発展内容も着実に理解できるはずです！

学習完了