【理論】令和6年 (下期) 問9｜RC直列回路における周波数による電流値の変化を求める計算問題

問題と基本概念

この問題のポイント

重要なポイント

周波数が変わると、コンデンサのリアクタンスが変化する
コンデンサのリアクタンスは周波数に反比例する
回路全体のインピーダンスが変わり、電流値も変化する
抵抗値は周波数によって変わらない

RC回路とは

RC回路は抵抗（Resistor）とコンデンサ（Capacitor）を組み合わせた回路です。交流回路では、これらの素子は異なる特性を示します：

抵抗：周波数に関係なく一定の抵抗値
コンデンサ：周波数が高いほど電流を通しやすくなる

身近な例で考えてみよう

コンデンサは「電気の貯金箱」のようなものです。高い周波数（早い変化）では貯金箱のフタの開け閉めが追いつかず、電気が素通りしやすくなります。一方、低い周波数（ゆっくりの変化）では、しっかりと電気を蓄えようとするので、電流が流れにくくなります。

問題解決のアプローチ

この問題は以下の手順で解きます：

50Hz時の条件から：回路全体のインピーダンスを求める
コンデンサのリアクタンス：50Hz時の値を計算する
60Hz時の変化：周波数比からリアクタンスの変化を求める
新しい電流値：変化後のインピーダンスから電流を計算する

よくある間違い

コンデンサのリアクタンスと周波数の関係を逆に覚える
直列回路と並列回路のインピーダンス計算を混同する
実効値と最大値を間違える
計算途中で小数点以下を雑に扱う

交流回路の基本的な考え方

直流回路ではオームの法則：\( V = IR \) を使いますが、交流回路では：

\[ V = IZ \]

ここで \( Z \) はインピーダンスと呼ばれ、交流に対する「総合的な抵抗」を表します。

インピーダンスの特徴

大きさだけでなく、位相（タイミング）の情報も含む
抵抗成分とリアクタンス成分を合成したもの
周波数によって値が変わる

インピーダンスとリアクタンスの基礎

各素子のインピーダンス

抵抗 \( R \, \mathrm{[\Omega]} \)，コイル \( L \, \mathrm{[H]} \)，コンデンサ \( C \, \mathrm{[F]} \) があり，電源の角周波数 \( \omega \, \mathrm{[rad/s]} \) 及び周波数 \( f \, \mathrm{[Hz]} \) が与えられているとき，それぞれのインピーダンス \( \mathrm{[\Omega]} \) は：

\[ \begin{aligned} \dot{Z}_R &= R \\[10pt] \dot{Z}_L &= j\omega L = j2\pi f L \\[10pt] \dot{Z}_C &= \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j2\pi f C} \end{aligned} \]

重要な関係式

角周波数：\( \omega = 2\pi f \)
コンデンサのリアクタンス：\( X_C = \frac{1}{2\pi f C} \)
コイルのリアクタンス：\( X_L = 2\pi f L \)

周波数とリアクタンスの関係

素子	リアクタンス	周波数依存性	特徴
抵抗 R	0（純抵抗）	変化しない	常に一定
コイル L	\( X_L = 2\pi f L \)	周波数に比例	高周波で大きくなる
コンデンサ C	\( X_C = \frac{1}{2\pi f C} \)	周波数に反比例	高周波で小さくなる

コンデンサの周波数特性

コンデンサのリアクタンス \( X_C \) は周波数 \( f \) に反比例します：

\[ X_C = \frac{1}{2\pi f C} \]

周波数が変わった時のリアクタンス

周波数が \( f_1 \) から \( f_2 \) に変わった場合：

\[ \frac{X_{C2}}{X_{C1}} = \frac{f_1}{f_2} \]

つまり、周波数の比の逆数がリアクタンスの比になります。

インピーダンスの合成

RC直列回路では、抵抗とコンデンサのインピーダンスを合成します：

\[ \dot{Z} = R + \frac{1}{j2\pi f C} = R - j\frac{1}{2\pi f C} \]

インピーダンスの大きさは：

\[ |Z| = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{2\pi f C}\right)^2} \]

複素数表示の理解

実部（R）：抵抗成分、電力を消費する
虚部（X）：リアクタンス成分、エネルギーを蓄積・放出する
コンデンサ：虚部が負（-j）、電圧より電流が進む
コイル：虚部が正（+j）、電圧より電流が遅れる

位相関係

RC回路では、電圧と電流に位相差が生じます：

\[ \phi = \arctan\left(-\frac{X_C}{R}\right) = -\arctan\left(\frac{X_C}{R}\right) \]

位相の特徴

RC回路：電流が電圧より進む（進み位相）
RL回路：電流が電圧より遅れる（遅れ位相）
R成分が大きい：位相差が小さくなる
X成分が大きい：位相差が大きくなる

アドミタンスとの関係

アドミタンス \( Y \, \mathrm{[S]} \) はインピーダンスの逆数です：

\[ \begin{aligned} \dot{Y}_R &= \frac{1}{R} \\[10pt] \dot{Y}_L &= \frac{1}{j\omega L} = \frac{1}{j2\pi f L} \\[10pt] \dot{Y}_C &= j\omega C = j2\pi f C \end{aligned} \]

並列回路ではアドミタンスを足し算で計算するので便利です。

実際の数値例

50Hzで \( C = 10 \, \mu F \) のコンデンサのリアクタンス：

\[ X_C = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 10 \times 10^{-6}} \approx 318.3 \, \Omega \]

60Hzでは：

\[ X_C = \frac{50}{60} \times 318.3 \approx 265.3 \, \Omega \]

実際の解き方・計算手順

与えられた条件の整理

問題の条件

抵抗：\( R = 4 \, \Omega \)
コンデンサ：\( C \, \mathrm{[F]} \)（値は未知）
50Hz時：電圧 100V、電流 20A
60Hz時：電圧 100V、電流は？

ステップ1：50Hz時の回路全体のインピーダンスを求める

オームの法則から：

\[ Z = \frac{E}{I} = \frac{100}{20} = 5 \, \Omega \]

インピーダンスの物理的意味

インピーダンス 5Ω とは、この RC回路が 100V の交流電圧に対して 20A の電流を流す「総合的な抵抗」を表します。

ステップ2：50Hz時のコンデンサのリアクタンスを求める

RC直列回路では、インピーダンスの大きさは：

\[ |Z| = \sqrt{R^2 + X_C^2} \]

これを \( X_C \) について解くと：

\[ X_C = \sqrt{Z^2 - R^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \, \Omega \]

計算の確認

求めた値で検算してみます：

\[ |Z| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \Omega \quad \checkmark \]

ステップ3：60Hz時のコンデンサのリアクタンスを求める

コンデンサのリアクタンスは周波数に反比例するので：

\[ X_C' = \frac{f}{f'} \times X_C = \frac{50}{60} \times 3 = \frac{5}{6} \times 3 = 2.5 \, \Omega \]

周波数とリアクタンスの関係

周波数が \( \frac{60}{50} = 1.2 \) 倍になると、リアクタンスは \( \frac{50}{60} = \frac{5}{6} \) 倍（約0.833倍）になります。

ステップ4：60Hz時の回路全体のインピーダンスを求める

抵抗は変わらないので：

\[ Z' = \sqrt{R^2 + (X_C')^2} = \sqrt{4^2 + 2.5^2} = \sqrt{16 + 6.25} = \sqrt{22.25} \]

具体的な計算

\[ Z' = \sqrt{22.25} \approx 4.717 \, \Omega \]

電卓で確認：\( \sqrt{22.25} = 4.71699... \approx 4.717 \)

ステップ5：60Hz時の電流を求める

オームの法則から：

\[ I' = \frac{E}{Z'} = \frac{100}{4.717} \approx 21.2 \, \mathrm{A} \]

答えの確認

結果のまとめ

50Hz時：インピーダンス 5Ω、電流 20A
60Hz時：インピーダンス 4.717Ω、電流 21.2A
変化の傾向：周波数が上がると、電流が増加

結果の物理的解釈

周波数が高くなると、コンデンサのリアクタンスが小さくなり、回路全体のインピーダンスが下がります。その結果、同じ電圧でもより多くの電流が流れるようになります。

別解：比例計算による方法

より直接的な方法として、インピーダンスの比から電流の比を求めることもできます：

\[ \frac{I'}{I} = \frac{Z}{Z'} = \frac{5}{4.717} \approx 1.06 \]

したがって：

\[ I' = 20 \times 1.06 = 21.2 \, \mathrm{A} \]

答え：(3) \( 21.2 \)

周波数特性と応用

RC回路の周波数特性

RC回路は周波数によって大きく特性が変わります。これを周波数特性と呼びます。

周波数による変化のまとめ

低周波数：コンデンサのリアクタンスが大きく、電流が流れにくい
高周波数：コンデンサのリアクタンスが小さく、電流が流れやすい
極端に高い周波数：コンデンサが短絡状態に近づく
極端に低い周波数：コンデンサが開放状態に近づく

実際の応用例

応用分野	回路の役割	重要な特性
ハイパスフィルタ	高周波成分を通す	カットオフ周波数以上を通過
結合回路	交流成分のみ伝送	直流成分をカット
微分回路	入力波形の微分	急峻な変化を強調
タイマー回路	時定数による遅延	充放電特性を利用
発振回路	特定周波数で発振	位相条件と利得条件

カットオフ周波数

RC回路にはカットオフ周波数という重要な特性があります。これは、出力が入力の \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)（約70.7%）になる周波数です。

\[ f_c = \frac{1}{2\pi RC} \]

カットオフ周波数の計算

今回の問題で、\( R = 4 \, \Omega \)、50Hzで \( X_C = 3 \, \Omega \) なので：

\[ \frac{1}{2\pi f C} = 3 \quad \Rightarrow \quad C = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 3} \approx 1.06 \, \mathrm{mF} \] \[ f_c = \frac{1}{2\pi \times 4 \times 1.06 \times 10^{-3}} \approx 37.6 \, \mathrm{Hz} \]

位相特性

RC回路では、周波数によって電圧と電流の位相関係も変わります：

\[ \phi = -\arctan\left(\frac{X_C}{R}\right) \]

位相角の計算

50Hz時：\( \phi = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right) \approx -36.9° \)
60Hz時：\( \phi = -\arctan\left(\frac{2.5}{4}\right) \approx -32.0° \)

周波数が高くなると、位相差が小さくなります。

時定数と過渡応答

RC回路の時定数 \( \tau \) は：

\[ \tau = RC \]

これは、コンデンサの充放電にかかる時間の目安になります。

時定数の意味

1τ後：約63.2%まで変化
3τ後：約95%まで変化
5τ後：約99%まで変化（ほぼ完了）

実用回路での注意点

実際の回路設計での注意

寄生容量：配線や素子間の不要な容量
寄生インダクタンス：配線の不要なインダクタンス
抵抗の周波数特性：高周波では抵抗値が変化
コンデンサの損失：理想的でない特性
温度特性：温度による特性変化

測定と検証

実際の回路では、以下の方法で特性を測定・検証できます：

周波数応答測定：ネットワークアナライザを使用
時間応答測定：オシロスコープで波形観測
位相測定：位相差計や2チャンネルオシロスコープ
インピーダンス測定：LCRメータを使用

学習のポイント

RC回路の周波数特性は、フィルタ回路、発振回路、増幅回路など、多くの電子回路の基礎となります。単純な計算だけでなく、物理的な意味を理解することで、より複雑な回路の設計や解析にも応用できるようになります。

発展的な学習内容

次のステップへ

複素インピーダンス：s領域での解析
伝達関数：入出力の関係を関数で表現
ボード線図：周波数特性のグラフ表現
フィルタ設計：バターワース、チェビシェフフィルタ
アクティブフィルタ：オペアンプを使った高性能フィルタ
スイッチング回路：デジタル信号処理への応用
雑音解析：熱雑音やショット雑音の影響

類似問題への対応

このタイプの問題では、以下のようなバリエーションもあります：

パターン1：RL回路

コイルの場合は周波数に比例してリアクタンスが増加します：

\[ X_L = 2\pi f L \quad \Rightarrow \quad \frac{X_{L2}}{X_{L1}} = \frac{f_2}{f_1} \]

パターン2：RLC回路

抵抗、コイル、コンデンサが混在する場合は、共振現象も考慮する必要があります：

\[ Z = R + j(X_L - X_C) = R + j\left(2\pi f L - \frac{1}{2\pi f C}\right) \]

パターン3：並列回路

並列接続の場合はアドミタンスを使った計算が便利です：

\[ Y = \frac{1}{R} + j2\pi f C \quad \text{(RC並列)} \]

実際の電気機器での応用

RC回路の原理は、身の回りの多くの電気機器で使われています：

機器・システム	RC回路の役割	重要な特性
スピーカーシステム	クロスオーバーネットワーク	周波数分離特性
無線通信機	変調・復調回路	搬送波除去特性
電源回路	リップルフィルタ	高周波ノイズ除去
測定器	入力カップリング	直流成分除去
マイコン回路	リセット回路	電源投入時の遅延
モータ制御	速度検出フィルタ	ノイズ除去特性

設計時の考慮事項

実用的な設計のポイント

素子の選定：精度、温度特性、周波数特性を考慮
レイアウト：寄生容量・インダクタンスを最小化
グラウンド設計：ノイズ対策と信号品質向上
シールド：外部ノイズからの保護
電源設計：安定した動作電圧の確保

故障診断とトラブルシューティング

RC回路で問題が発生した場合の診断方法：

よくある故障とその症状

コンデンサの劣化：容量値の変化、漏れ電流の増加
抵抗の劣化：抵抗値の変化、ノイズの発生
はんだ不良：接触抵抗の増加、断続的な動作
配線の断線：完全な動作停止
短絡：異常な電流、発熱

学習効果を高めるための演習

練習問題例

1. RC回路で、周波数が2倍になったとき、電流はどう変化するか？

2. カットオフ周波数が100Hzのハイパスフィルタを設計するには？

3. 時定数1msの回路で、90%充電されるまでの時間は？

学習のまとめ

RC回路の周波数特性を理解することで、フィルタ設計、信号処理、ノイズ対策など、実用的な回路設計の基礎が身につきます。計算だけでなく、物理的な現象の理解を深めることが重要です。