【理論】令和1年　問9｜RLC並列回路における角周波数変化と電流実効値の関係に関する計算問題

はい、並列回路の場合はインピーダンスではなくアドミタンスで考えるのが便利だと思います。並列回路の全体のアドミタンスは各素子のアドミタンスの和になりますので、まず各素子のアドミタンスを求めて合成することになります。

抵抗のアドミタンスは1/R、コンデンサのアドミタンスはjωC、インダクタのアドミタンスは1/(jωL)となります。これらを合成して電流を求めていくことになりますね。

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はい、全体のアドミタンスȲを求めます。

抵抗のアドミタンス = \( \frac{1}{R} = \frac{1}{100 \times 10^3} = 10^{-5} \ \mathrm{[S]} \)

コンデンサのアドミタンス = \( j\omega C = j\omega \times 10 \times 10^{-6} = j\omega \times 10^{-5} \ \mathrm{[S]} \)

インダクタのアドミタンス = \( \frac{1}{j\omega L} = \frac{1}{j\omega \times 1 \times 10^{-3}} = \frac{-j}{\omega \times 10^{-3}} \ \mathrm{[S]} \)

全体のアドミタンスȲは、これらの和になりますので：

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\[ \begin{aligned} \dot{Y} &= \frac{1}{R} + j\omega C + \frac{1}{j\omega L} \\ &= \frac{1}{R} + j\omega C - \frac{j}{\omega L} \\[10pt] \dot{Y} &= 10^{-5} + j\omega \times 10^{-5} - \frac{j}{\omega \times 10^{-3}} \\ &= 10^{-5} + j\left( \omega \times 10^{-5} - \frac{1}{\omega \times 10^{-3}} \right) \end{aligned} \]

これが全体のアドミタンスの複素表現となります。

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はい、複素アドミタンスȲから大きさYを求めるには、複素数の絶対値を計算します。

複素アドミタンスȲは次のように表されました：

\( \dot{Y} = 10^{-5} + j\left(\omega \times 10^{-5} - \frac{1}{\omega \times 10^{-3}}\right) \)

複素数の絶対値は、実部と虚部の二乗和の平方根で求められますので：

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\[ \begin{aligned} Y &= |\dot{Y}| = \sqrt{\left(10^{-5}\right)^2 + \left(\omega \times 10^{-5} - \frac{1}{\omega \times 10^{-3}}\right)^2} \\[10pt] &= \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2} \end{aligned} \]

これがアドミタンスの大きさを表す式となります。電流の実効値はこのアドミタンスの大きさと電圧の実効値の積になります。

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はい、アドミタンスの大きさの式を見ると、2つの要素があることに気づきます。

1つ目は抵抗成分 \( \left(\frac{1}{R}\right)^2 \) で、これは角周波数ωに依存しない定数です。この問題では R = 100kΩ なので、\( \frac{1}{R} = 10^{-5} \) [S] となり、どの角周波数でも同じ値になります。

2つ目はリアクタンス成分 \( \left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2 \) で、これは角周波数ωによって変化します。コンデンサのリアクタンスはωに比例して増加し、インダクタのリアクタンスはωに反比例して減少します。

特に重要な点として、\( \omega C - \frac{1}{\omega L} = 0 \) となる特定の角周波数が存在する場合、リアクタンス成分が0になり、アドミタンスは最小値 \( \frac{1}{R} \) となります。これが並列共振の条件で、このときに回路の電流は最小になります。

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はい、共振角周波数を求めるために、条件式 \( \omega C - \frac{1}{\omega L} = 0 \) を変形します。

まず、左辺の項を右辺に移項します：

\( \omega C = \frac{1}{\omega L} \)

この式から、ωについて解いていくことで共振角周波数が求められますね。

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ω²の式にするために、両辺にωをかけてみます。

\( \omega C = \frac{1}{\omega L} \)

両辺にωをかけると：

\( \omega^2 C = \frac{1}{L} \)

これでω²を含む式に変形できました。

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はい、ω²について解いていきます。

今、\( \omega^2 C = \frac{1}{L} \) という式が得られました。

両辺をCで割ると：

\( \omega^2 = \frac{1}{LC} \)

これでω²の値が求まりました。

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ω²からωを求めるには、両辺の平方根をとります。

\( \omega^2 = \frac{1}{LC} \)

両辺の平方根をとると：

\( \omega = \pm\sqrt{\frac{1}{LC}} = \pm\frac{1}{\sqrt{LC}} \)

角周波数ωは正の値なので：

\( \omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}} \)

これが並列共振回路の共振角周波数の一般式となります。

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はい、求めた一般式に具体的な値を代入して計算します。

共振角周波数 \( \omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}} \) に、L = 1mH = 10⁻³ H、C = 10μF = 10⁻⁵ Fを代入します。

ただし、C = 10μF = 10×10⁻⁶ F = 10⁻⁵ Fではなく、C = 10μF = 10×10⁻⁶ Fですので、正確に計算します。

\[ \begin{aligned} \omega_r &= \frac{1}{\sqrt{L \times C}} \\[10pt] &= \frac{1}{\sqrt{1 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-6}}} \end{aligned} \] 次のステップへ

はい、指数部分をまとめて計算を続けます。

\[ \begin{aligned} \omega_r &= \frac{1}{\sqrt{1 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-6}}} \\[10pt] &= \frac{1}{\sqrt{10 \times 10^{-9}}} \end{aligned} \]

指数部分を整理しました。10⁻³×10⁻⁶ = 10⁻⁹ ですね。次に平方根の計算を進めます。

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平方根の計算を工夫して進めます。まず、指数部分を変形します。

\[ \begin{aligned} \omega_r &= \frac{1}{\sqrt{10 \times 10^{-9}}} \\[10pt] &= \frac{1}{\sqrt{10} \times \sqrt{10^{-9}}} \end{aligned} \]

ここで、\( \sqrt{10^{-9}} = 10^{-\frac{9}{2}} = 10^{-4.5} \) となります。

したがって：

\[ \begin{aligned} \omega_r &= \frac{1}{\sqrt{10} \times 10^{-4.5}} \\[10pt] &= \frac{10^{4.5}}{\sqrt{10}} \end{aligned} \] 次のステップへ

最後に数値として表します。

\( \sqrt{10} \) は約3.16なので：

\[ \begin{aligned} \omega_r &= \frac{10^{4.5}}{\sqrt{10}} \\[10pt] &= \frac{10^{4.5}}{3.16} \\[10pt] \end{aligned} \]

ここで10の4.5乗を計算すると：

\[ \begin{aligned} 10^{4.5} &= 10^4 \times 10^{0.5} \\ &= 10,000 \times \sqrt{10} \\[10pt] &\approx 10,000 \times 3.16 \\ &\approx 31,600 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\approx \frac{31600}{3.16} \\[10pt] &\approx 10000 \ \mathrm{[rad/s]} \\[10pt] &= 10 \ \mathrm{[krad/s]} \end{aligned} \]

したがって、この回路の共振角周波数は約10,000 [rad/s] = 10 [krad/s]となります。

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I₁とI₃の大小関係を判断するために、それぞれの角周波数における \( \omega C - \frac{1}{\omega L} \) の絶対値を比較すると良いと思います。電流の大きさはこの値の絶対値に依存するからです。

ω₁ = 5 [krad/s]のとき：

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\[ \begin{aligned} \left|\omega_1 C - \frac{1}{\omega_1 L}\right| &= \left|5 \times 10^3 \times 10 \times 10^{-6} - \frac{1}{5 \times 10^3 \times 1 \times 10^{-3}}\right| \\[10pt] &= \left|5 \times 10^{-2} - \frac{1}{5}\right| \\[10pt] &= \left|0.05 - 0.2\right| \\[10pt] &= |{-0.15}| \\[10pt] &= 0.15 \end{aligned} \]

ω₃ = 30 [krad/s]のとき：

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\[ \begin{aligned} \left|\omega_3 C - \frac{1}{\omega_3 L}\right| &= \left|30 \times 10^3 \times 10 \times 10^{-6} - \frac{1}{30 \times 10^3 \times 1 \times 10^{-3}}\right| \\[10pt] &= \left|30 \times 10^{-2} - \frac{1}{30}\right| \\[10pt] &= \left|0.3 - \frac{1}{30}\right| \\[10pt] &= \left|0.3 - 0.033\right| \\[10pt] &\approx 0.267 \end{aligned} \] <

比較すると、\(|\omega_1 C - \frac{1}{\omega_1 L}| = 0.15 < |\omega_3 C - \frac{1}{\omega_3 L}| \approx 0.267\) となります。

したがって、\(I_1 < I_3\)という関係が分かります。

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最終的な3つの電流の大小関係をまとめますと：

1. \(I_2\)が最小：\(\omega_2 = 10\) [krad/s]のとき、回路は共振状態となり、アドミタンスが最小になるため、電流\(I_2\)も最小になります。

2. \(I_1\)と\(I_3\)の比較：計算の結果、\(|\omega_1 C - \frac{1}{\omega_1 L}| = 0.15 < |\omega_3 C - \frac{1}{\omega_3 L}| \approx 0.267\) であることから、\(I_1 < I_3\)となります。

以上から、3つの電流の大小関係は次のようになります：

\(I_2 < I_1 < I_3\)

この関係は選択肢の(3)に対応します。

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ありがとうございます！この問題を通して、並列RLC回路の周波数特性について理解が深まりました。

重要なポイントをまとめると：

1. 並列共振回路では、共振角周波数\(\omega_r\)のとき、アドミタンスが最小（インピーダンスが最大）となり、電流も最小になります。これは直列共振回路とは逆の特性です。

2. 共振角周波数は \(\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) で求められます。

3. 共振点から周波数がずれるほど、\(|\omega C - \frac{1}{\omega L}|\)の値が大きくなり、電流も大きくなります。

4. 共振点よりも高い周波数側と低い周波数側では、同じ周波数差でも電流値が異なります。この問題では高周波側（\(\omega_3\)）の方が電流値が大きくなりました。

答えは選択肢の（3）が正解です。

終了