三相交流（Three-phase AC）は、現代の電力システムの基盤となる技術です。単相交流に比べて多くの利点があるため、世界中の電力系統で採用されています。三相交流が生まれた背景には、より効率的で経済的な電力伝送の必要性がありました。19世紀末、ニコラ・テスラやミハイル・ドルヴォ＝ドブロヴォルスキーらによって実用化された三相交流システムは、今日でも変わらず使用されています。
三相交流の発生原理を理解するために、三相同期発電機の構造を考えてみましょう。固定子（ステータ）には120度ずつ位相がずれた3つの巻線が配置され、回転子（ローター）の磁界によって誘起される起電力も120度ずつ位相がずれた三相となります。この幾何学的配置が、三相交流の基本的な性質を決定しています。
三相発電機の動作原理は、ファラデーの電磁誘導の法則に基づいています。一様な磁束密度 \(B\) の磁界中で、3つのコイルが120度間隔で配置され、角速度 \(\omega\) で回転すると、各コイルには位相が120度ずつずれた誘起電圧が発生します。
または度の代わりにラジアンで：
\[ \begin{aligned} e_R(t) &= E_m\sin(\omega t) \\[10pt] e_S(t) &= E_m\sin\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right) \\[10pt] e_T(t) &= E_m\sin\left(\omega t - \frac{4\pi}{3}\right) \end{aligned} \]三相交流の大きな利点の一つは、電力の脈動が少ないことです。単相交流では瞬時電力が2倍の周波数で脈動しますが、三相交流では3つの相の電力が合成されることで、総電力がほぼ一定となります。これにより、回転機器の振動が少なく、滑らかな運転が可能になります。
解答：
角速度：
\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi n / 60 \\[10pt] &= 2\pi \times 1500 / 60 \\[10pt] &= 50\pi \quad \mathrm{[rad/s]} \end{aligned} \]誘起電圧の最大値：
\[ \begin{aligned} E_m &= BS\omega \\[10pt] &= 0.8 \times 0.05 \times 50\pi \\[10pt] &= 2\pi ≈ 6.28 \quad \mathrm{[V]} \end{aligned} \]各相とも同じ最大値6.28 [V]を持ち、位相が120度ずつ異なる。
三相交流システムの経済性も重要な利点です。同一電力を伝送する場合、三相システムでは単相システムに比べて導体の使用量を約25％削減できます。これは、中性線の電流が理論的に零となることと、線間電圧を利用できることによります。また、三相変圧器は単相変圧器3台に比べて小型・軽量で製作できるため、コスト面でも有利です。
回転磁界の生成も三相交流の重要な特性です。三相の巻線に三相交流を流すと、合成磁界は一定の大きさを保ちながら一定速度で回転します。この回転磁界により、誘導電動機やブラシレス直流電動機などの効率的な回転機器が実現されています。
相順（Phase sequence）は、三相交流において各相が最大値に達する時間的順序を表します。相順は電動機の回転方向を決定する重要な要素であり、電力系統の並列運転や同期においても極めて重要な概念です。相順には正相順（RST順）と逆相順（RTS順）があり、実際の電気設備では相順の確認と制御が安全運転の前提となります。
正相順（Positive sequence）は、R相→S相→T相の順序で各相が最大値に達する場合を指します。これは一般的な三相システムの標準的な相順であり、ほとんどの電動機はこの相順で正転するように設計されています。逆相順（Negative sequence）では、R相→T相→S相の順序となり、電動機は逆転します。
相順の確認方法には、相順計（Phase sequence indicator）や検相器を使用する方法があります。また、オシロスコープを用いて各相の波形を観測し、位相関係から相順を判定することも可能です。現場では、三相電動機を短時間運転して回転方向を確認する方法も一般的に用いられます。
解答：
各相の位相関係：
\[ \begin{aligned} e_R(t) &= E_m\sin(\omega t) \quad \text{（基準）} \\[10pt] e_S(t) &= E_m\sin(\omega t + 30°) \\[10pt] e_T(t) &= E_m\sin(\omega t - 90°) \end{aligned} \]最大値に達する順序を確認：
・S相：\(\omega t + 30° = 90°\) → \(\omega t = 60°\)
・R相：\(\omega t = 90°\)
・T相：\(\omega t - 90° = 90°\) → \(\omega t = 180°\)
従って、S相→R相→T相の順序となり、逆相順（SRT順）である。
相順の重要性は、特に電動機の運転において顕著に現れます。ポンプやファンなどの設備では、逆回転により重大な事故や設備損傷を引き起こす可能性があります。また、並列運転を行う発電機では、相順が一致していないと大きな循環電流が流れ、設備の損傷や系統の不安定化を招きます。
三相不平衡の解析においても相順は重要な概念です。対称座標法では、三相不平衡電圧や電流を正相分、逆相分、零相分に分解して解析しますが、この際の正相・逆相の定義は相順の概念と密接に関連しています。
三相交流を数学的・図的に表現する方法には、いくつかの重要な手法があります。最も基本的な方法は時間波形による表現ですが、実用的な回路解析ではフェーザー図（ベクトル図）による表現が広く用いられます。また、対称三相においては特別な性質があり、これを理解することで複雑な三相回路の解析が大幅に簡素化されます。
三相交流のフェーザー表示では、各相の電圧や電流を複素数で表現します。正相順の平衡三相電圧の場合、120度の位相差を表すために複素数の単位演算子 \(a = e^{j120°} = -\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}\) を用いると便利です。この演算子を使うことで、三相の関係を簡潔に表現できます。
単位演算子 \(a\) の重要な性質として、\(a^3 = 1\) および \(1 + a + a^2 = 0\) があります。これらの性質は、三相平衡回路の解析において頻繁に使用され、計算の大幅な簡素化をもたらします。特に、三相電圧や電流の和が零になることの証明に用いられます。
フェーザー図では、三相電圧を複素平面上の3つのベクトルとして表現します。平衡三相の場合、3つのベクトルは等しい長さを持ち、120度ずつ均等に配置されます。この図から、各相間の位相関係や線間電圧の関係が視覚的に理解できます。
解答：
Y結線における相電圧は線間電圧の1/√3：
\[E = \frac{200}{\sqrt{3}} ≈ 115.5 \quad \mathrm{[V]}\]各相電圧のフェーザー表示：
\[ \begin{aligned} \dot{E}_R &= 115.5\angle0° \quad \mathrm{[V]} \\[10pt] \dot{E}_S &= 115.5\angle-120° \quad \mathrm{[V]} \\[10pt] \dot{E}_T &= 115.5\angle-240° = 115.5\angle120° \quad \mathrm{[V]} \end{aligned} \]単位演算子を用いると：
\[ \begin{aligned} \dot{E}_R &= E = 115.5 \quad \mathrm{[V]} \\[10pt] \dot{E}_S &= a^2E = 115.5a^2 \quad \mathrm{[V]} \\[10pt] \dot{E}_T &= aE = 115.5a \quad \mathrm{[V]} \end{aligned} \]三相交流の表現方法には、時間関数による表現とフェーザーによる表現の他に、瞬時値による表現もあります。特に、三相電力の計算や過渡現象の解析では、瞬時値による表現が重要となります。これらの表現方法を適切に使い分けることで、様々な三相回路の問題を効率的に解決できます。
平衡三相交流の最も重要な特性の一つは、各相の瞬時値の和が常に零になることです。この性質は、三相システムの基本的な動作原理を理解する上で極めて重要であり、中性線電流が零になることや、三相電力の脈動が小さいことの理論的基礎となっています。
平衡三相起電力の瞬時値の和を数学的に証明してみましょう。各相の起電力が同じ振幅 \(E_m\) を持ち、位相が120度ずつ異なる場合、それらの瞬時値の和は三角関数の性質により零となります。
この証明は、三角関数の加法定理を用いてより詳細に示すことができます。120度ずつ位相の異なる3つの正弦波の和は、それらの対称性により必ず零となります。これは、複素フェーザーの観点からも、\(1 + a + a^2 = 0\) として簡潔に表現できます。
各項を加法定理で展開：
\[ \begin{aligned} &\sin(\omega t) + \sin(\omega t - 120°) + \sin(\omega t - 240°) \\[10pt] &= \sin(\omega t) + \sin(\omega t)\cos(120°) - \cos(\omega t)\sin(120°) \\[5pt] &\quad + \sin(\omega t)\cos(240°) - \cos(\omega t)\sin(240°) \\[10pt] &= \sin(\omega t)[1 + \cos(120°) + \cos(240°)] \\[5pt] &\quad - \cos(\omega t)[\sin(120°) + \sin(240°)] \\[10pt] &= \sin(\omega t)[1 + (-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2})] \\[5pt] &\quad - \cos(\omega t)[\frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2})] \\[10pt] &= \sin(\omega t) \times 0 - \cos(\omega t) \times 0 = 0 \end{aligned} \]この性質は、実用的な三相システムにおいて重要な意味を持ちます。Y結線された三相負荷において各相の電流が平衡している場合、中性線に流れる電流は零となります。これにより、中性線の断線による事故を防ぎ、効率的な電力伝送が可能になります。
また、三相電力の脈動が小さいことも、この性質から説明できます。各相の瞬時電力の和は一定値となり、単相交流のような大きな脈動がありません。これにより、三相電動機の回転が滑らかになり、振動や騒音が軽減されます。
三相交流回路には、基本的な結線方法として Y結線（星形結線）と Δ結線（三角結線）があります。これらの結線方法は、電圧・電流の関係、電力の計算方法、用途などが大きく異なるため、それぞれの特性を正確に理解することが重要です。実際の電力システムでは、用途に応じてこれらの結線を使い分けています。
Y結線は、3つの巻線の一端を共通点（中性点）で接続し、他端を線路に接続する方法です。この結線では、相電圧と線間電圧の関係、相電流と線電流の関係に特定の数値的関係があります。一方、Δ結線では3つの巻線を三角形状に接続し、各頂点を線路に接続します。
\(V_L\)：線間電圧、\(V_P\)：相電圧、\(I_L\)：線電流、\(I_P\)：相電流
解答：
Y結線では線間電圧は相電圧の√3倍：
\[ \begin{aligned} V_L &= \sqrt{3}V_P \\[10pt] &= \sqrt{3} \times 100 \\[10pt] &= 173.2 \quad \mathrm{[V]} \end{aligned} \]フェーザー図で確認すると、2つの相電圧のベクトル差として線間電圧が得られ、その大きさは相電圧の√3倍となる。
Y結線とΔ結線の選択は、用途によって決まります。Y結線は中性線を引き出すことができるため、単相負荷と三相負荷を同時に供給する配電系統で多用されます。また、高電圧送電においてもY結線が一般的です。一方、Δ結線は高電流が必要な用途や、電動機の始動時に用いられることが多く、特に大容量電動機のスター・デルタ始動法で重要な役割を果たします。
結線変換も重要な概念です。同一電力を伝送する Y結線とΔ結線の等価変換では、インピーダンスの関係として \(Z_Y = Z_Δ/3\) が成り立ちます。この関係は、回路解析において異なる結線方式の回路を統一的に扱うために用いられます。
ただし、線間電圧と総電力が等しい条件での変換
三相回路における電力計算では、結線方式によって計算方法が異なります。しかし、線間電圧と線電流を用いた電力計算式 \(P = \sqrt{3}V_LI_L\cos\phi\) は、Y結線・Δ結線のいずれにも適用できる便利な公式です。
| 項目 | Y結線 | Δ結線 |
|---|---|---|
| 線間電圧 | \(\sqrt{3}V_P\) | \(V_P\) |
| 線電流 | \(I_P\) | \(\sqrt{3}I_P\) |
| 中性線 | あり | なし |
| 主な用途 | 配電、送電 | 電動機、変圧器 |
| 絶縁レベル | 低い | 高い |
Y-Y回路（スター・スター回路）は、電源と負荷の両方がY結線で接続された三相交流回路です。この結線方式は送電・配電システムにおいて最も広く使用されており、特に高電圧送電線や配電系統での標準的な接続方法となっています。Y-Y回路の最大の特徴は、中性線を通じて不平衡負荷への対応が可能であることと、各相の絶縁レベルを低く抑えられることです。
Y-Y回路の解析では、各相を独立して扱うことができるため、単相交流回路の知識を直接応用できます。これは、三相回路解析の入門として理想的な構成といえます。ただし、中性線の有無によって回路の特性が大きく変わるため、この点を正確に理解することが重要です。
平衡Y-Y回路において、各相の電圧・電流関係は同一となります。線間電圧は相電圧の√3倍、位相は30度進みます。負荷が平衡している場合、中性線電流は零となり、実質的に3線式として動作します。
解答：
(1) 相電圧：
\[ V_P = \frac{V_L}{\sqrt{3}} = \frac{400}{\sqrt{3}} ≈ 231 \quad \mathrm{[V]} \]相電流：
\[ I_P = \frac{V_P}{|Z|} = \frac{231}{20} = 11.55 \quad \mathrm{[A]} \](2) 線電流（Y結線では線電流＝相電流）：
\[I_L = I_P = 11.55 \quad \mathrm{[A]}\](3) 総電力：
\[ \begin{aligned} P &= \sqrt{3}V_LI_L\cos\phi \\[10pt] &= \sqrt{3} \times 400 \times 11.55 \times \cos(30°) \\[10pt] &= \sqrt{3} \times 400 \times 11.55 \times 0.866 \\[10pt] &≈ 6930 \quad \mathrm{[W]} \end{aligned} \]不平衡Y-Y回路では、中性線の存在が重要な意味を持ちます。中性線が接続されている場合、各相の電圧は電源の相電圧と等しく保たれます。しかし、中性線が断線した場合、負荷の不平衡により各相電圧が変動し、場合によっては機器の損傷を引き起こす可能性があります。
△-△回路（デルタ・デルタ回路）は、電源と負荷の両方がΔ結線で接続された三相交流回路です。この結線方式は、変圧器や大容量電動機において広く使用されています。Δ結線では中性点が存在しないため、線間電圧と相電圧が等しく、高い信頼性を持つという特徴があります。また、一相が故障した場合でも残り二相で運転を継続できる利点があります。
△-△回路の大きな特徴は、循環電流の存在です。三次高調波電流などの零相分電流は、Δ結線内で循環し、線路には流れません。これにより、電源波形の歪みが線路に影響を与えにくいという利点があります。一方で、この循環電流により変圧器の損失が増加する場合もあるため、設計時には注意が必要です。
平衡△-△回路では、線間電圧と相電圧が等しく、線電流は相電流の√3倍となります。この関係は、Y結線とは逆の特性を示します。各相のインピーダンスが等しい場合、回路解析は比較的簡単になります。
解答：
(1) 相電圧（Δ結線では線間電圧＝相電圧）：
\[V_P = V_L = 200 \quad \mathrm{[V]}\]相電流：
\[ I_P = \frac{V_P}{|Z|} = \frac{200}{15} = 13.33 \quad \mathrm{[A]} \](2) 線電流：
\[ I_L = \sqrt{3}I_P = \sqrt{3} \times 13.33 = 23.09 \quad \mathrm{[A]} \](3) 総電力：
\[ \begin{aligned} P &= \sqrt{3}V_LI_L\cos\phi \\[10pt] &= \sqrt{3} \times 200 \times 23.09 \times \cos(45°) \\[10pt] &= \sqrt{3} \times 200 \times 23.09 \times 0.707 \\[10pt] &≈ 5660 \quad \mathrm{[W]} \end{aligned} \]△-△回路の大きな利点の一つは、一相開放時の運転継続能力です。変圧器の一相が故障した場合でも、残りの二相により運転を継続できます。この場合、出力は約58%に低下しますが、完全停止を避けることができます。これをV結線（開放Δ結線）と呼び、緊急時の対応策として重要です。
△-Y回路（デルタ・スター回路）とY-△回路（スター・デルタ回路）は、電源と負荷の結線方式が異なる三相回路です。これらの結線は、変圧器において異なる電圧レベル間の変換や、電動機の始動方式において重要な役割を果たします。特に、Y-△始動法は大容量誘導電動機の始動電流を制限する効果的な方法として広く用いられています。
△-Y回路では、Δ結線された電源からY結線された負荷に電力を供給します。この場合、電源側では線間電圧と相電圧が等しく、負荷側では線間電圧が相電圧の√3倍となります。電圧変換比は電源と負荷の結線方式により決定され、変圧器設計において重要な要素となります。
解答：
(1) Y結線時（始動時）：
電動機の各相に加わる電圧：
\[ V_{相} = \frac{V_{線}}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} ≈ 115 \quad \mathrm{[V]} \]始動電流（電圧が1/√3になるため電流も1/√3）：
\[ I_{Y始動} = \frac{I_{Δ始動}}{\sqrt{3}} = \frac{50 \times 6}{\sqrt{3}} ≈ 173 \quad \mathrm{[A]} \](2) Δ結線直入との比較：
Δ直入始動電流（始動電流を定格の6倍と仮定）：
\[I_{Δ始動} = 50 \times 6 = 300 \quad \mathrm{[A]}\]Y-Δ始動により始動電流を約1/3に軽減できる。
Y-△始動法の動作原理は、始動時にY結線にすることで各相の電圧を1/√3に減少させ、始動電流を約1/3に軽減することです。電動機が加速した後、Δ結線に切り替えて定格運転を行います。この方法により、電源系統への影響を最小限に抑えながら大容量電動機を始動できます。
ただし、Y-△始動法には注意点もあります。始動トルクも約1/3に減少するため、高始動トルクを必要とする負荷には適用できません。また、切り替え時の瞬間停電により電動機が減速する場合があるため、切り替えタイミングの調整が重要です。
三相回路の解析において、Y結線とΔ結線の負荷を等価変換する技法は極めて重要です。この換算により、異なる結線方式の回路を統一的に解析できるようになり、複雑な三相回路の計算が大幅に簡素化されます。等価変換の条件は、線間から見た場合に同一の電力消費と同一のインピーダンス特性を示すことです。
Y-Δ等価変換の基本原理は、端子から見たインピーダンスが等しくなるように各素子の値を調整することです。同一の線間電圧を加えた時に同一の線電流が流れ、同一の電力を消費するような変換を行います。この変換は、回路理論における基本的な手法の一つです。
この変換公式の導出は、キルヒホッフの法則と電力の等価性から求められます。Y結線では線間に2つのインピーダンスが直列に接続された形となり、Δ結線では1つのインピーダンスが直接線間に接続されます。同一の線間電圧で同一の電力を消費するためには、\(Z_Δ = 3Z_Y\) の関係が必要となります。
解答：
Δ結線等価インピーダンス：
\[ \begin{aligned} Z_Δ &= 3Z_Y \\[10pt] &= 3(10 + j5) \\[10pt] &= 30 + j15 \quad \mathrm{[Ω]} \end{aligned} \]Y結線時の電力計算：
\[ \begin{aligned} |Z_Y| &= \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} ≈ 11.18 \quad \mathrm{[Ω]} \\[10pt] I_{LY} &= \frac{V_P}{|Z_Y|} = \frac{100/\sqrt{3}}{11.18} ≈ 5.16 \quad \mathrm{[A]} \\[10pt] \cos\phi_Y &= \frac{10}{11.18} ≈ 0.894 \\[10pt] P_Y &= \sqrt{3} \times 100 \times 5.16 \times 0.894 ≈ 798 \quad \mathrm{[W]} \end{aligned} \]Δ結線時の電力計算：
\[ \begin{aligned} |Z_Δ| &= \sqrt{30^2 + 15^2} = \sqrt{1125} ≈ 33.54 \quad \mathrm{[Ω]} \\[10pt] I_{PΔ} &= \frac{100}{33.54} ≈ 2.98 \quad \mathrm{[A]} \\[10pt] I_{LΔ} &= \sqrt{3} \times 2.98 ≈ 5.16 \quad \mathrm{[A]} \\[10pt] \cos\phi_Δ &= \frac{30}{33.54} ≈ 0.894 \\[10pt] P_Δ &= \sqrt{3} \times 100 \times 5.16 \times 0.894 ≈ 798 \quad \mathrm{[W]} \end{aligned} \]両方式で同一の電力消費となることを確認。
実際の応用では、変圧器の結線変換や負荷の接続方式変更において、この等価変換が用いられます。例えば、Y結線で設計された負荷をΔ結線に変更する場合、各相のインピーダンスを3倍にする必要があります。逆に、Δ結線からY結線への変更では、インピーダンスを1/3にします。
不平衡負荷の場合、Y-Δ変換はより複雑になります。この場合、各相のインピーダンスが異なるため、個別に変換式を適用する必要があります。また、中性線の有無によっても解析方法が変わるため、実用的な問題では慎重な検討が必要です。
平衡時（\(Z_R = Z_S = Z_T = Z_Y\)）は \(Z_Δ = 3Z_Y\) となる
Y-Δ変換の応用例として、電動機の効率改善があります。軽負荷時にY結線で運転し、重負荷時にΔ結線に切り替えることで、全体の効率を向上させることができます。また、無効電力の調整にも応用され、力率改善の手法の一つとして利用されています。
| 結線方式 | 電圧関係 | 電流関係 | 主な用途 | 特徴 |
|---|---|---|---|---|
| Y-Y | \(V_L = \sqrt{3}V_P\) | \(I_L = I_P\) | 送配電 | 中性線あり |
| Δ-Δ | \(V_L = V_P\) | \(I_L = \sqrt{3}I_P\) | 変圧器 | 高信頼性 |
| Y-Δ | 組み合わせ | 組み合わせ | 電動機始動 | 始動電流軽減 |
| Δ-Y | 組み合わせ | 組み合わせ | 配電変圧器 | 電圧変換 |
解答：
(1) 線電流：
\[ \begin{aligned} I_L &= \frac{P}{\sqrt{3}V_L\cos\phi} \\[10pt] &= \frac{1000 \times 10^3}{\sqrt{3} \times 6600 \times 0.8} \\[10pt] &= \frac{1000000}{9148} ≈ 109.3 \quad \mathrm{[A]} \end{aligned} \](2) 負荷がΔ結線の場合の相電流：
\[ I_P = \frac{I_L}{\sqrt{3}} = \frac{109.3}{\sqrt{3}} ≈ 63.1 \quad \mathrm{[A]} \](3) 年間電力量：
\[ \begin{aligned} W &= P \times \text{時間} \times \text{稼働率} \\[10pt] &= 1000 \times 8760 \times 0.7 \\[10pt] &= 6,132,000 \quad \mathrm{[kWh]} = 6.13 \quad \mathrm{[GWh]} \end{aligned} \]三相電力は、三相交流システムにおける電力の概念であり、電力工学の中核をなす重要な理論です。単相電力が時間とともに大きく脈動するのに対し、三相電力は脈動が小さく、ほぼ一定の値を示します。この特性により、三相システムは効率的な電力伝送と安定した電動機運転を実現しています。電力システムの設計、運用、保護において、三相電力の正確な理解は不可欠です。
三相電力の基本的な考え方は、3つの相の瞬時電力の合計として表現されることです。平衡三相システムでは、各相の電力が120度ずつ位相をずらして変化するため、その合計は一定値となります。これは、三相システムの最も重要な利点の一つであり、回転機械の滑らかな運転や送電効率の向上に直結しています。
三相電力の瞬時値を数学的に解析してみましょう。平衡三相電圧・電流において、各相の瞬時電力は正弦波の2乗となり、これらを合成すると一定値が得られます。この一定値が三相電力の平均値となります。
実際の計算では、線間電圧と線電流を用いた公式が最も実用的です。この公式は、Y結線、Δ結線のいずれにも適用でき、三相電力計算の標準となっています。力率cosφは電圧と電流の位相差を表し、電力の効率を決定する重要な要素です。
\(V_L\)：線間電圧、\(I_L\)：線電流、\(\phi\)：力率角
解答：
有効電力：
\[ \begin{aligned} P &= \sqrt{3}V_LI_L\cos\phi \\[10pt] &= \sqrt{3} \times 400 \times 50 \times 0.8 \\[10pt] &= 27,713 \quad \mathrm{[W]} ≈ 27.7 \quad \mathrm{[kW]} \end{aligned} \]無効電力：
\[ \begin{aligned} Q &= \sqrt{3}V_LI_L\sin\phi \\[10pt] &= \sqrt{3} \times 400 \times 50 \times \sin(\arccos(0.8)) \\[10pt] &= \sqrt{3} \times 400 \times 50 \times 0.6 \\[10pt] &= 20,785 \quad \mathrm{[var]} ≈ 20.8 \quad \mathrm{[kvar]} \end{aligned} \]皮相電力：
\[ \begin{aligned} S &= \sqrt{3}V_LI_L \\[10pt] &= \sqrt{3} \times 400 \times 50 \\[10pt] &= 34,641 \quad \mathrm{[VA]} ≈ 34.6 \quad \mathrm{[kVA]} \end{aligned} \]検算：\(S^2 = P^2 + Q^2 = 27.7^2 + 20.8^2 = 1200 ≈ 34.6^2\)
電力工学における電力は、有効電力、無効電力、皮相電力の3つの成分に分類されます。これらの関係を正確に理解することは、電力システムの効率的な運用、力率改善、電力品質の向上において極めて重要です。特に、電力会社の料金体系や設備容量の決定においても、これらの概念は基礎となっています。
有効電力（Active Power）は、実際に仕事をする電力であり、熱や機械的エネルギーに変換される部分です。照明の光、モータの回転、ヒータの発熱など、我々が日常的に利用している電力の本質的な部分がこれに当たります。単位はワット[W]で表され、電力料金の基本となる量です。
無効電力（Reactive Power）は、エネルギーの蓄積と放出に関わる電力であり、実際には消費されません。インダクタンスやキャパシタンスなどのリアクティブ成分によって生じ、電源と負荷の間を往復します。直接的には仕事をしませんが、電圧の維持や電力システムの安定化に重要な役割を果たします。
皮相電力（Apparent Power）は、有効電力と無効電力を合成した総合的な電力です。これは電源が供給しなければならない全電力を表し、変圧器や発電機などの電力機器の容量設計の基準となります。電流の実効値と電圧の実効値の積で表されます。
これらの電力の物理的意味をより深く理解するために、電力の流れを考えてみましょう。有効電力は一方向に流れ、負荷で消費されて熱や機械的エネルギーに変換されます。一方、無効電力は電源と負荷の間を周期的に往復し、平均的には消費されません。しかし、この往復する電流は導線に損失を生じさせるため、電力システムの効率を低下させます。
解答：
インピーダンスの大きさと力率角：
\[ \begin{aligned} |Z| &= \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = 50 \quad \mathrm{[Ω]} \\[10pt] \cos\phi &= \frac{R}{|Z|} = \frac{30}{50} = 0.6 \\[10pt] \sin\phi &= \frac{X}{|Z|} = \frac{40}{50} = 0.8 \end{aligned} \]電流：
\[I = \frac{V}{|Z|} = \frac{100}{50} = 2 \quad \mathrm{[A]}\]各電力：
\[ \begin{aligned} P &= VI\cos\phi = 100 \times 2 \times 0.6 = 120 \quad \mathrm{[W]} \\[10pt] Q &= VI\sin\phi = 100 \times 2 \times 0.8 = 160 \quad \mathrm{[var]} \\[10pt] S &= VI = 100 \times 2 = 200 \quad \mathrm{[VA]} \end{aligned} \]または、抵抗・リアクタンス成分から：
\[ \begin{aligned} P &= I^2R = 2^2 \times 30 = 120 \quad \mathrm{[W]} \\[10pt] Q &= I^2X = 2^2 \times 40 = 160 \quad \mathrm{[var]} \end{aligned} \]力率（Power Factor）は、電力システムの効率を表す最も重要な指標の一つです。力率は有効電力と皮相電力の比として定義され、0から1の値を取ります。力率が1に近いほど効率的であり、0.1などの低い値では非効率的な電力利用となります。工業分野では力率の改善が経済性と環境負荷軽減の両面で重要な課題となっています。
電力三角形は、有効電力、無効電力、皮相電力の関係を直角三角形で表現したものです。この図により、各電力成分の関係が視覚的に理解でき、力率改善の効果も定量的に把握できます。電力三角形は、電力工学において基本的かつ強力な解析ツールです。
力率の種類には、遅れ力率と進み力率があります。誘導性負荷（モータ、変圧器など）では電流が電圧より遅れるため遅れ力率となり、容量性負荷（キャパシタなど）では電流が電圧より進むため進み力率となります。一般的な工場や事業所では誘導性負荷が多いため、遅れ力率となることが多く、これを改善するためにコンデンサを設置します。
解答：
改善前の状態：
\[ \begin{aligned} P &= 100 \quad \mathrm{[kW]} \\[10pt] \cos\phi_1 &= 0.6, \quad \tan\phi_1 = \frac{\sin\phi_1}{\cos\phi_1} = \frac{0.8}{0.6} = 1.333 \\[10pt] Q_1 &= P\tan\phi_1 = 100 \times 1.333 = 133.3 \quad \mathrm{[kvar]} \end{aligned} \]改善後の状態：
\[ \begin{aligned} \cos\phi_2 &= 0.9, \quad \tan\phi_2 = \frac{\sin\phi_2}{\cos\phi_2} = \frac{0.436}{0.9} = 0.484 \\[10pt] Q_2 &= P\tan\phi_2 = 100 \times 0.484 = 48.4 \quad \mathrm{[kvar]} \end{aligned} \]必要なコンデンサの無効電力：
\[ Q_C = Q_1 - Q_2 = 133.3 - 48.4 = 84.9 \quad \mathrm{[kvar]} \]84.9 [kvar]の進み無効電力を持つコンデンサが必要。
力率改善の経済効果は非常に大きく、電力会社からの力率割引、デマンド料金の削減、設備の効率向上などの利益があります。また、配電損失の減少により環境負荷も軽減されます。力率を0.6から0.9に改善すると、皮相電力は約25%削減され、同じ有効電力を供給するのに必要な設備容量を大幅に削減できます。
三相電力の測定は、電力システムの監視・制御において不可欠な技術です。測定方法には、三電力計法、二電力計法、一電力計法などがあり、それぞれ異なる条件下で使用されます。特に二電力計法（ブロンデルの定理）は、平衡・不平衡を問わず正確な測定が可能であり、実用上最も重要な方法です。
ブロンデルの定理によれば、n線式の交流回路において、電力はn-1個の電力計で正確に測定できます。三相3線式では2個、三相4線式では3個の電力計が必要となります。この定理は、電力測定の基本原理として広く応用されています。
二電力計法では、2つの電力計の指示値の和が三相有効電力となり、差に√3を乗じたものが三相無効電力となります。この方法により、力率も計算できるため、電力システムの総合的な監視が可能です。特に、負荷が不平衡の場合でも正確な測定ができる点が重要です。
解答：
三相有効電力：
\[P = P_1 + P_2 = 8 + 12 = 20 \quad \mathrm{[kW]}\]三相無効電力：
\[ \begin{aligned} Q &= \sqrt{3}(P_1 - P_2) \\[10pt] &= \sqrt{3}(8 - 12) \\[10pt] &= \sqrt{3} \times (-4) \\[10pt] &= -6.93 \quad \mathrm{[kvar]} \end{aligned} \]負の値は進み無効電力を示す。
皮相電力と力率：
\[ \begin{aligned} S &= \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{20^2 + (-6.93)^2} = \sqrt{400 + 48} ≈ 21.2 \quad \mathrm{[kVA]} \\[10pt] \cos\phi &= \frac{P}{S} = \frac{20}{21.2} ≈ 0.94 \text{（進み）} \end{aligned} \]実際の電力システムでは、三相負荷が完全に平衡していることは稀であり、不平衡負荷への対応が重要な課題となります。不平衡負荷では、各相の電力が異なり、中性線に電流が流れるため、解析がより複雑になります。対称座標法による解析や、各相個別の計算が必要となる場合があります。
不平衡負荷の電力計算では、各相を個別に扱う方法が基本となります。Y結線の場合は相電圧が既知であれば各相の電力を直接計算でき、Δ結線の場合は線間電圧から相電圧を求めて計算します。総電力は各相電力の和となります。
解答：
各相の電流：
\[ \begin{aligned} I_R &= \frac{V_R}{R_R} = \frac{100}{20} = 5 \quad \mathrm{[A]} \\[10pt] I_S &= \frac{V_S}{R_S} = \frac{100}{30} = 3.33 \quad \mathrm{[A]} \\[10pt] I_T &= \frac{V_T}{R_T} = \frac{100}{40} = 2.5 \quad \mathrm{[A]} \end{aligned} \]各相の電力：
\[ \begin{aligned} P_R &= V_RI_R = 100 \times 5 = 500 \quad \mathrm{[W]} \\[10pt] P_S &= V_SI_S = 100 \times 3.33 = 333 \quad \mathrm{[W]} \\[10pt] P_T &= V_TI_T = 100 \times 2.5 = 250 \quad \mathrm{[W]} \end{aligned} \]総電力：
\[P_{total} = P_R + P_S + P_T = 500 + 333 + 250 = 1083 \quad \mathrm{[W]}\]回転磁界は、誘導電動機や同期電動機の動作原理の基礎となる極めて重要な現象です。三相交流を空間的に120度ずつずらして配置した3つのコイルに流すと、合成磁界が一定の大きさを保ちながら一定速度で回転します。この回転磁界により、回転子に電磁誘導が生じ、トルクが発生します。現代の電動機技術は、この回転磁界の原理なくしては成り立ちません。
回転磁界の発生メカニズムを理解するために、3つのコイルが空間的に120度間隔で配置された状況を考えてみましょう。これらのコイルに三相交流を流すと、各コイルが作る磁界の合成として、回転する磁界が生成されます。この合成磁界の大きさは一定であり、回転速度は電源周波数に比例します。
数学的に回転磁界を解析してみましょう。3つのコイルがx軸、y軸から120度ずつずらして配置され、それぞれに三相交流が流れる場合を考えます。各コイルの磁界をベクトル合成すると、合成磁界は円運動することが証明できます。
合成磁界を複素数表示で解析すると、その性質がより明確になります。3つのコイルによる磁界の合成は、単位演算子aを用いて簡潔に表現でき、その結果として一定の大きさを持つ回転ベクトルが得られます。
回転磁界の回転速度（同期速度）は、電源周波数と極数によって決まります。この関係は、電動機の設計において基本的な指標となります。日本の商用電源（50Hzまたは60Hz）を用いた電動機の同期速度は、この公式により決定されます。
\(f\)：電源周波数 [Hz]、\(p\)：極数
解答：
\[ \begin{aligned} N_s &= \frac{120f}{p} \\[10pt] &= \frac{120 \times 50}{4} \\[10pt] &= 1500 \quad \mathrm{[rpm]} \end{aligned} \]角速度に換算すると：
\[ \Omega_s = \frac{2\pi N_s}{60} = \frac{2\pi \times 1500}{60} = 50\pi ≈ 157 \quad \mathrm{[rad/s]} \]回転磁界の方向は、三相交流の相順によって決まります。正相順（RST順）では正方向に回転し、逆相順（RTS順）では逆方向に回転します。この性質を利用して、電動機の回転方向を制御することができます。実際の電動機では、2本の線を入れ替えるだけで回転方向を反転させることができます。
| 電力の種類 | 記号 | 単位 | 物理的意味 | 計算式 |
|---|---|---|---|---|
| 有効電力 | P | [W] | 実際に消費される電力 | \(P = \sqrt{3}V_LI_L\cos\phi\) |
| 無効電力 | Q | [var] | エネルギー蓄積・放出 | \(Q = \sqrt{3}V_LI_L\sin\phi\) |
| 皮相電力 | S | [VA] | 電源が供給する全電力 | \(S = \sqrt{3}V_LI_L\) |
回転磁界は、誘導電動機や同期電動機の動作原理の基礎となる極めて重要な現象です。三相交流を空間的に120度ずつずらして配置した3つのコイルに流すと、合成磁界が一定の大きさを保ちながら一定速度で回転します。この回転磁界により、回転子に電磁誘導が生じ、トルクが発生します。現代の電動機技術は、この回転磁界の原理なくしては成り立ちません。
回転磁界の発生メカニズムを理解するために、3つのコイルが空間的に120度間隔で配置された状況を考えてみましょう。これらのコイルに三相交流を流すと、各コイルが作る磁界の合成として、回転する磁界が生成されます。この合成磁界の大きさは一定であり、回転速度は電源周波数に比例します。
数学的に回転磁界を解析してみましょう。3つのコイルがx軸、y軸から120度ずつずらして配置され、それぞれに三相交流が流れる場合を考えます。各コイルの磁界をベクトル合成すると、合成磁界は円運動することが証明できます。
合成磁界を複素数表示で解析すると、その性質がより明確になります。3つのコイルによる磁界の合成は、単位演算子aを用いて簡潔に表現でき、その結果として一定の大きさを持つ回転ベクトルが得られます。
回転磁界の回転速度（同期速度）は、電源周波数と極数によって決まります。この関係は、電動機の設計において基本的な指標となります。日本の商用電源（50Hzまたは60Hz）を用いた電動機の同期速度は、この公式により決定されます。
\(f\)：電源周波数 [Hz]、\(p\)：極数
解答：
\[ \begin{aligned} N_s &= \frac{120f}{p} \\[10pt] &= \frac{120 \times 50}{4} \\[10pt] &= 1500 \quad \mathrm{[rpm]} \end{aligned} \]角速度に換算すると：
\[ \Omega_s = \frac{2\pi N_s}{60} = \frac{2\pi \times 1500}{60} = 50\pi ≈ 157 \quad \mathrm{[rad/s]} \]回転磁界の方向は、三相交流の相順によって決まります。正相順（RST順）では正方向に回転し、逆相順（RTS順）では逆方向に回転します。この性質を利用して、電動機の回転方向を制御することができます。実際の電動機では、2本の線を入れ替えるだけで回転方向を反転させることができます。
回転磁界の強度は、各相の電流の大きさに比例します。三相が平衡している場合、合成磁界の強度は各相磁界の1.5倍となります。これは、3つの正弦波が120度ずつ位相をずらして合成されることによる効果です。この特性により、三相電動機は単相電動機に比べて効率的なトルクを発生できます。
実際の電動機における回転磁界の応用を考えてみましょう。誘導電動機では、固定子に発生した回転磁界が回転子のかご型導体に電流を誘起し、その電流と磁界の相互作用によってトルクが発生します。同期電動機では、回転磁界と回転子の永久磁石または界磁電流との相互作用によってトルクが生まれます。
解答：
\[ \begin{aligned} \text{2極：} \quad N_s &= \frac{120 \times 60}{2} = 3600 \quad \mathrm{[rpm]} \\[10pt] \text{4極：} \quad N_s &= \frac{120 \times 60}{4} = 1800 \quad \mathrm{[rpm]} \\[10pt] \text{6極：} \quad N_s &= \frac{120 \times 60}{6} = 1200 \quad \mathrm{[rpm]} \\[10pt] \text{8極：} \quad N_s &= \frac{120 \times 60}{8} = 900 \quad \mathrm{[rpm]} \end{aligned} \]極数が多いほど回転速度は低くなる。
二相交流による回転磁界は、三相交流システムとは異なる原理で動作しますが、同様に一定の大きさで回転する磁界を生成することができます。二相交流システムでは、90度位相の異なる2つの交流を、空間的に90度ずらして配置した2つのコイルに流します。この方式は、単相電動機の始動や特殊な用途において重要な役割を果たします。
二相交流による回転磁界の数学的解析は、三相の場合よりも簡単です。2つのコイルが直交して配置され、それぞれに90度位相の異なる電流が流れる場合、合成磁界は円軌道を描いて回転します。ただし、二相システムでは三相システムのような完全な対称性がないため、実用上の制約があります。
二相交流システムの特徴は、三相システムに比べて構造が簡単である一方、電力の脈動が存在することです。二相システムでは瞬時電力が零になる瞬間があり、これが機械的振動や効率の低下につながる場合があります。そのため、大容量の用途では三相システムが優先されます。
解答：
二相電動機の同期速度も三相と同じ公式を使用：
\[ \begin{aligned} N_s &= \frac{120f}{p} \\[10pt] &= \frac{120 \times 50}{4} \\[10pt] &= 1500 \quad \mathrm{[rpm]} \end{aligned} \]回転磁界の原理は同じため、同期速度の計算式も同一。
実用的な二相システムの応用例として、単相誘導電動機の始動方式があります。単相電動機は自力では始動できませんが、コンデンサやコイルを用いて人工的に二相状態を作り出すことで始動トルクを発生させます。コンデンサ始動方式では、主巻線と直列にコンデンサを接続した補助巻線を用いて、90度近い位相差を作り出します。
二相システムと三相システムの比較では、以下のような違いがあります。三相システムは電力が一定で振動が少なく、効率も良好ですが、二相システムは構造が簡単で制御しやすいという利点があります。現代では、インバータ技術の発達により、単相電源から三相出力を得ることも容易になっています。
回転磁界の理論は、現代の可変速駆動システムにおいても重要な基礎となっています。インバータによる可変周波数制御では、電源周波数を変化させることで回転磁界の速度を制御し、電動機の回転速度を任意に調整できます。これにより、省エネルギーと精密な速度制御が同時に実現されています。
| 極数 | 50Hz [rpm] | 60Hz [rpm] | 主な用途 |
|---|---|---|---|
| 2極 | 3000 | 3600 | 小型高速電動機 |
| 4極 | 1500 | 1800 | 一般産業用電動機 |
| 6極 | 1000 | 1200 | 中速度電動機 |
| 8極 | 750 | 900 | 低速度大トルク電動機 |
解答：
30Hz時の同期速度：
\[N_{s1} = \frac{120 \times 30}{4} = 900 \quad \mathrm{[rpm]}\]60Hz時の同期速度：
\[N_{s2} = \frac{120 \times 60}{4} = 1800 \quad \mathrm{[rpm]}\]速度変化：
\[\frac{N_{s2}}{N_{s1}} = \frac{1800}{900} = 2\]周波数を2倍にすることで、同期速度も2倍になる。
これがインバータによる可変速制御の基本原理。