現代社会において、私たちの生活と産業を支える電力システムの基盤となっているのが「交流」です。発電所で生み出された電力は、変電所で電圧を変換され、送電線を通じて私たちの家庭や職場に届けられます。これらのシステムはすべて交流電力によって機能しています。
交流（Alternating Current: AC）とは、時間とともに大きさと向きが周期的に変化する電流です。これは直流（Direct Current: DC）とは異なり、一定方向に流れる電流ではありません。交流が世界中の電力供給方式として採用されている主な理由は、変圧器を使用して電圧を容易に変換できることと、長距離送電における効率の良さにあります。
第三種電気主任技術者試験における重要性
交流回路は、第三種電気主任技術者試験の「理論」科目において最も基本的かつ重要な分野です。電気理論の多くの部分が交流回路の理解の上に成り立っており、試験では交流回路の基本概念から応用問題まで幅広く出題されます。特に、インピーダンス計算、共振回路、電力計算、力率改善などは頻出テーマとなっています。交流回路の理解は、続く電力系統、電気機器、電気測定などの分野を学ぶための基礎となるため、確実にマスターすることが必要です。
本学習ページでは、交流回路の基礎概念から始め、抵抗、インダクタ、コンデンサなどの基本素子の働き、フェーザ表示を用いた回路解析、そして交流電力の計算まで、段階的に解説していきます。具体的な計算例や図解を交えながら、初学者でも理解しやすいよう配慮しています。また、第三種電気主任技術者試験対策として、実際の出題傾向に即した演習問題も用意しました。
交流回路の理解は、電気工学を学ぶ上での最初の大きな関門とも言えますが、基本をしっかり押さえることで、電気の世界への扉が大きく開けることでしょう。一緒に学んでいきましょう。
交流（Alternating Current: AC）とは、時間とともに大きさと向きが周期的に変化する電流のことです。通常、正弦波（サイン波）の形で表されることが一般的ですが、理論上は方形波、三角波、のこぎり波など様々な波形も交流に含まれます。
交流の主な特性は以下の通りです：
交流と直流の比較
交流（AC）と直流（DC）は、電気の二つの基本的な形態です。直流は方向と大きさが一定であるのに対し、交流は周期的に変化します。交流の主な利点は、変圧器による電圧変換の容易さと送電時の損失が少ないことです。一方、直流は電池や太陽電池で直接生成でき、多くの電子機器の内部では直流が使用されています。現代の電力システムでは、発電・送電・配電は主に交流で行われ、必要に応じて機器内部で直流に変換されます。
交流の歴史
19世紀末、トーマス・エジソンは直流配電システムを推進していましたが、ニコラ・テスラとジョージ・ウェスティングハウスは交流システムの優位性を主張しました。この「電流戦争」の結果、交流の利点（特に変圧器による電圧変換の容易さと送電損失の低減）が認められ、現代の電力システムの基礎となりました。日本では、東日本で50Hz、西日本で60Hzという二つの周波数が使用されているのは、この時代に異なるシステムが導入された歴史的経緯によるものです。
電力システムにおいて最も一般的に使用される交流は正弦波交流です。正弦波交流は数学的に最も扱いやすく、また発電機の構造上、自然に生成される波形でもあります。
正弦波交流の瞬時値は、時間の関数として次の式で表されます：
ここで：
同様に、交流電圧の瞬時値は：
ここで：
交流波形を表現する方法はいくつかあります：
交流の数学的表現における注意点
交流の式で \(\sin\) 関数が一般的に使用されますが、\(\cos\) 関数を使用することもあります。この場合、\(i = I_m \cos(\omega t + \phi)\) となり、\(\sin\) 関数から位相が90°（π/2 rad）シフトした形になります。どちらを使用するかは慣習や解析の都合によりますが、一貫性を保つことが重要です。また、角度の単位としてラジアン（rad）と度（°）が混在することがあるため、変換に注意が必要です（360° = 2π rad）。
交流を特徴づける基本的なパラメータには以下のものがあります：
1. 周波数と周期
周波数（f）は、1秒間に完了する波形の周期の数を表し、単位はヘルツ（Hz）です。周期（T）は、波形が1回完全に繰り返すのに要する時間で、周波数の逆数です。
また、角周波数（ω）は：
\[\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \quad \text{[rad/s]}\]日本の商用電源の周波数は、東日本で50 Hz（周期20 ms）、西日本で60 Hz（周期16.7 ms）です。
2. 振幅と最大値
振幅または最大値（\(I_m\) または \(V_m\)）は、交流波形が到達する最大の絶対値です。正弦波の場合、正の最大値と負の最大値の絶対値は等しくなります。
3. 実効値（RMS値）
実効値（Root Mean Square value）は、交流が発生させる熱エネルギーを、同じ熱エネルギーを発生させる直流の値として表したものです。正弦波の場合、実効値は最大値を \(\sqrt{2}\) で割った値になります。
日常的に「100V」や「200V」と呼ばれる電圧は、実効値を指しています。したがって、これらの電圧の最大値は実効値の約1.414倍（\(\sqrt{2}\)倍）です。
4. 平均値
一周期にわたる正弦波の平均値は0ですが、正の半周期または負の半周期のみの平均値（絶対値の平均）は次の式で与えられます：
この値は、整流回路など交流を直流に変換する場合に重要となります。
例題：交流パラメータの計算
最大値が 220 V の正弦波交流の実効値と平均値（絶対値）を求めよ。また、この交流の周波数が 60 Hz のとき、周期と角周波数を求めよ。
解答：
実効値：
\begin{align*} V_{rms} &= \frac{V_m}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{220}{\sqrt{2}} \\ &= 220 \times 0.7071 \\ &= 155.6 \, \mathrm{V} \end{align*}平均値（絶対値）：
\begin{align*} V_{avg} &= \frac{2}{\pi} \times V_m \\ &= \frac{2}{\pi} \times 220 \\ &= 220 \times 0.6366 \\ &= 140.1 \, \mathrm{V} \end{align*}周期：
\begin{align*} T &= \frac{1}{f} \\ &= \frac{1}{60} \\ &= 0.01667 \, \mathrm{s} = 16.67 \, \mathrm{ms} \end{align*}角周波数：
\begin{align*} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 60 \\ &= 6.28 \times 60 \\ &= 376.8 \, \mathrm{rad/s} \end{align*}位相差（Phase Difference）は、二つの同じ周波数の正弦波間の時間的なずれを角度で表したものです。位相差は、交流回路において電圧と電流の関係を理解する上で非常に重要な概念です。
2つの交流波形:
\[v = V_m \sin(\omega t + \phi_v)\] \[i = I_m \sin(\omega t + \phi_i)\]位相差θは:
\[\theta = \phi_v - \phi_i\]位相差の基本的な用語：
交流回路においては、「電流が電圧に対して進む」または「電流が電圧に対して遅れる」という表現がよく使われます。これは回路の特性を示す重要な情報です。
回路素子と位相差
• 抵抗回路：電圧と電流は同相（位相差0°）
• インダクタ（コイル）回路：電流が電圧に対して90°遅れる
• コンデンサ回路：電流が電圧に対して90°進む
これらの位相関係は、後述するインピーダンスの概念と密接に関連しています。
例題：位相差の計算
2つの交流電圧 \(v_1 = 100\sin(314t + \pi/6)\) V と \(v_2 = 100\sin(314t - \pi/3)\) V の位相差を求めよ。また、どちらが進んでいるかを述べよ。
解答：
位相差は初期位相の差で計算できます：
\begin{align*} \theta &= \phi_1 - \phi_2 \\ &= \pi/6 - (-\pi/3) \\ &= \pi/6 + \pi/3 \\ &= \pi/2 \, \mathrm{rad} = 90° \end{align*}\(v_1\) の位相は \(\pi/6\) で、\(v_2\) の位相は \(-\pi/3\) です。位相が大きい（または正の方向に進んでいる）方が位相が進んでいると言えるので、\(v_1\) が \(v_2\) に対して90°進んでいます。
交流の基礎概念まとめ
抵抗（Resistor）は、電流の流れに対して抵抗を示す受動素子です。抵抗の大きさは単位オーム（Ω）で表されます。交流回路においても、抵抗は直流回路と同様に、オームの法則に従います。
ここで：
交流回路において重要なのは、抵抗を流れる電流と抵抗両端の電圧の間に位相差がないことです。これは、抵抗素子がエネルギーを蓄積せず、電力をすべて熱として消費するためです。
抵抗に正弦波電流 \(i = I_m \sin(\omega t)\) が流れるとき、抵抗両端の電圧は：
ここで、\(V_m = RI_m\) は電圧の最大値です。
抵抗での瞬時電力は：
平均電力は：
\[P_R = \frac{1}{T}\int_0^T p_R \, dt = \frac{RI_m^2}{2} = RI_{rms}^2\]抵抗での電力は常に正であり、抵抗は電気エネルギーを熱エネルギーに変換します（ジュール熱）。
例題：抵抗回路
100 Ωの抵抗に、最大値 1.5 A の正弦波電流（周波数 50 Hz）が流れている。
(1) 抵抗両端の電圧の最大値を求めよ。
(2) 抵抗での平均電力を求めよ。
解答：
(1) 電圧の最大値：
\begin{align*} V_m &= RI_m \\ &= 100 \times 1.5 \\ &= 150 \, \mathrm{V} \end{align*}(2) 平均電力：
\begin{align*} P_R &= \frac{RI_m^2}{2} \\ &= \frac{100 \times (1.5)^2}{2} \\ &= \frac{100 \times 2.25}{2} \\ &= 112.5 \, \mathrm{W} \end{align*}または、実効値を使用して：
\begin{align*} I_{rms} &= \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{1.5}{\sqrt{2}} = 1.06 \, \mathrm{A} \\ P_R &= RI_{rms}^2 \\ &= 100 \times (1.06)^2 \\ &= 100 \times 1.12 \\ &= 112.5 \, \mathrm{W} \end{align*}インダクタ（Inductor）またはコイルは、電磁誘導によって磁場にエネルギーを蓄積する素子です。インダクタの特性はインダクタンス（L）で表され、単位はヘンリー（H）です。
インダクタの基本的な特性は、電流の変化に対して電圧が発生することです。これを数式で表すと：
ここで：
交流回路においてインダクタに正弦波電流 \(i = I_m \sin(\omega t)\) が流れるとき、インダクタ両端の電圧は：
したがって、インダクタ両端の電圧は、電流に対して90°位相が進んでいます。または言い換えれば、インダクタを流れる電流はインダクタ両端の電圧に対して90°遅れています。
インダクタでの瞬時電力は：
平均電力は：
\[P_L = \frac{1}{T}\int_0^T p_L \, dt = 0\]インダクタでの電力は正と負の間で周期的に変化し、平均すると0になります。これは、インダクタがエネルギーを磁場として蓄積し、その後放出するためです。理想的なインダクタはエネルギーを消費しません。
インダクタの物理的意味
インダクタはコイル状の導体で作られ、電流が流れると内部に磁場が生成されます。この磁場はエネルギーを蓄積します。電流が変化すると磁場も変化し、ファラデーの法則により逆起電力が発生します。この逆起電力が電流の変化を妨げるように働き、これがインダクタの基本的な特性です。実際のインダクタは巻線抵抗を持つため、完全に理想的ではなく、若干の電力損失があります。
例題：インダクタ回路
50 mHのインダクタに、最大値 2 A の正弦波電流（周波数 60 Hz）が流れている。
(1) インダクタ両端の電圧の最大値を求めよ。
(2) 電流が最大値の半分（1 A）かつ増加している瞬間のインダクタ両端の電圧を求めよ。
解答：
(1) 電圧の最大値：
まず、角周波数を計算します：
インダクタ両端の電圧の最大値は：
\begin{align*} V_m &= L\omega I_m \\ &= 0.05 \times 377 \times 2 \\ &= 37.7 \, \mathrm{V} \end{align*}(2) 電流が最大値の半分かつ増加している瞬間：
電流が増加し、値が最大値の半分である瞬間、正弦波は \(\sin(\omega t) = 0.5\) となる位置にあります。この位置での電流の変化率は：
\(\sin(\omega t) = 0.5\) のとき、\(\cos(\omega t) = \sqrt{1 - \sin^2(\omega t)} = \sqrt{1 - 0.5^2} = \sqrt{0.75} = 0.866\)（電流が増加している象限では、コサインは正）
したがって、その瞬間のインダクタ両端の電圧は：
\begin{align*} v_L &= L\frac{di}{dt} \\ &= L \times I_m \omega \cos(\omega t) \\ &= 0.05 \times 2 \times 377 \times 0.866 \\ &= 32.7 \, \mathrm{V} \end{align*}コンデンサ（Capacitor）またはキャパシタは、電荷を蓄積する素子です。コンデンサの特性は静電容量（C）で表され、単位はファラッド（F）です。
コンデンサの基本的な特性は、電圧の変化に対して電流が流れることです。これを数式で表すと：
ここで：
あるいは、コンデンサの電圧と電荷の関係から：
交流回路においてコンデンサに正弦波電圧 \(v_C = V_m \sin(\omega t)\) が印加されるとき、コンデンサを流れる電流は：
したがって、コンデンサを流れる電流は、コンデンサ両端の電圧に対して90°位相が進んでいます。
コンデンサでの瞬時電力は：
平均電力は：
\[P_C = \frac{1}{T}\int_0^T p_C \, dt = 0\]コンデンサでの電力はインダクタと同様に正と負の間で周期的に変化し、平均すると0になります。これは、コンデンサがエネルギーを電界として蓄積し、その後放出するためです。理想的なコンデンサはエネルギーを消費しません。
コンデンサの物理的意味
コンデンサは2つの導体板（電極）を誘電体で隔てた構造を持ちます。電圧が印加されると、導体板に電荷が蓄積され、電界が形成されます。この電界にエネルギーが蓄えられます。直流ではコンデンサは充電された後に電流を通さなくなりますが、交流では電圧の変化に応じて電流が流れ続けます。実際のコンデンサには漏れ電流や誘電損失があり、わずかながら電力を消費します。
例題：コンデンサ回路
10 μFのコンデンサに、振幅 100 V の正弦波電圧（周波数 50 Hz）が印加されている。
(1) コンデンサを流れる電流の最大値を求めよ。
(2) 電圧が最大値の70%かつ増加している瞬間のコンデンサ電流を求めよ。
解答：
(1) 電流の最大値：
まず、角周波数を計算します：
コンデンサを流れる電流の最大値は：
\begin{align*} I_m &= C\omega V_m \\ &= 10 \times 10^{-6} \times 314 \times 100 \\ &= 0.314 \, \mathrm{A} = 314 \, \mathrm{mA} \end{align*}(2) 電圧が最大値の70%かつ増加している瞬間：
電圧が増加し、値が最大値の70%である瞬間、正弦波は \(\sin(\omega t) = 0.7\) となる位置にあります。この位置での電圧の変化率を求めるために、コサイン値を計算します：
電圧が増加している象限では、コサインは正になります。したがって、その瞬間のコンデンサ電流は：
\begin{align*} i &= C\frac{dv}{dt} \\ &= C \times \omega V_m \cos(\omega t) \\ &= 10 \times 10^{-6} \times 314 \times 100 \times 0.714 \\ &= 0.224 \, \mathrm{A} = 224 \, \mathrm{mA} \end{align*}リアクタンス（Reactance）は、交流回路においてインダクタとコンデンサが示す「見かけの抵抗」です。直流では、理想的なインダクタはショート（短絡）として、コンデンサはオープン（開放）として振る舞いますが、交流ではこれらの素子は周波数に依存した抵抗のような特性を示します。
インダクティブリアクタンス（\(X_L\)）はインダクタの交流に対する抵抗で、次式で表されます：
ここで：
キャパシティブリアクタンス（\(X_C\)）はコンデンサの交流に対する抵抗で、次式で表されます：
ここで：
リアクタンスを用いると、オームの法則と同様の関係が成り立ちます：
インダクタの場合：
\[V_{rms} = X_L \times I_{rms}\]コンデンサの場合：
\[V_{rms} = X_C \times I_{rms}\]リアクタンスの特徴：
リアクタンスと位相
リアクタンス素子の重要な特徴は、電圧と電流の間に位相差を生じさせることです。インダクタでは、電流が電圧に対して90°遅れます（電圧が電流より90°進む）。コンデンサでは、電流が電圧に対して90°進みます（電圧が電流より90°遅れる）。この位相関係は、後述するインピーダンスの複素数表現において、インダクティブリアクタンスを正の虚数部、キャパシティブリアクタンスを負の虚数部として表現することの基礎となります。
例題：リアクタンスの計算
50 mHのインダクタと47 μFのコンデンサがある。
(1) 周波数100 Hzにおけるそれぞれのリアクタンスを求めよ。
(2) 両素子に1 Aの電流（実効値）が流れるとき、それぞれの素子の両端電圧（実効値）を求めよ。
解答：
(1) リアクタンスの計算：
インダクティブリアクタンス：
キャパシティブリアクタンス：
\begin{align*} X_C &= \frac{1}{2\pi f C} \\ &= \frac{1}{2\pi \times 100 \times 47 \times 10^{-6}} \\ &= \frac{1}{0.0295} \\ &= 33.9 \, \Omega \end{align*}(2) 素子両端の電圧：
インダクタ両端の電圧：
コンデンサ両端の電圧：
\begin{align*} V_C &= X_C \times I \\ &= 33.9 \times 1 \\ &= 33.9 \, \mathrm{V} \end{align*}ただし、インダクタでは電圧が電流より90°進み、コンデンサでは電圧が電流より90°遅れることに注意してください。
交流回路の基本素子まとめ
フェーザ（Phasor）は、正弦波交流を表現するための回転ベクトルであり、交流回路の解析を大幅に簡略化します。フェーザは、振幅と位相を持つ複素数として表現され、時間領域の微分方程式を代数方程式に変換できる強力なツールです。
正弦波 \(v(t) = V_m \sin(\omega t + \phi)\) のフェーザ表示は、複素数 \(\dot{V} = V_m e^{j\phi}\) または \(\dot{V} = V_m \angle \phi\) と表されます。ここで、\(V_m\) は振幅、\(\phi\) は位相、そして \(j = \sqrt{-1}\) は虚数単位です。
フェーザは通常、振幅として最大値ではなく実効値を使用します：
フェーザの重要な特性：
フェーザ計算のメリット
フェーザを使った計算の主なメリットは、微分・積分演算が簡単な代数演算に置き換えられることです。例えば、時間領域での微分 \(\frac{d}{dt}\) は、フェーザ領域では単なる \(j\omega\) との乗算になります。また、同じ周波数を持つ異なる位相の正弦波の加算も、複素数の加算として簡単に行えます。これにより、複雑な交流回路の解析が大幅に簡略化されます。
例題：フェーザ表示と複素数表現
以下の正弦波をフェーザで表し、複素平面上に描け。また、これらのフェーザの和を求めよ。
\(v_1(t) = 100\sin(\omega t)\) V
\(v_2(t) = 50\sin(\omega t + 60°)\) V
解答：
まず、それぞれの正弦波を実効値を使ったフェーザで表します：
\begin{align*} \dot{V}_1 &= \frac{100}{\sqrt{2}} \angle 0° \\ &= 70.7 \angle 0° \\ &= 70.7 + j0 \, \mathrm{V} \end{align*} \begin{align*} \dot{V}_2 &= \frac{50}{\sqrt{2}} \angle 60° \\ &= 35.4 \angle 60° \\ &= 35.4 \cos 60° + j 35.4 \sin 60° \\ &= 35.4 \times 0.5 + j 35.4 \times 0.866 \\ &= 17.7 + j30.6 \, \mathrm{V} \end{align*}これらのフェーザを複素平面上に描くと、\(\dot{V}_1\) は実軸上の点（70.7, 0）に、\(\dot{V}_2\) は実軸から60°の位置の点（17.7, 30.6）に対応します。
フェーザの和は、複素数の和として計算できます：
\begin{align*} \dot{V}_{合計} &= \dot{V}_1 + \dot{V}_2 \\ &= (70.7 + j0) + (17.7 + j30.6) \\ &= 88.4 + j30.6 \, \mathrm{V} \end{align*}これを極形式に変換すると：
\begin{align*} |\dot{V}_{合計}| &= \sqrt{88.4^2 + 30.6^2} \\ &= \sqrt{7814.56 + 936.36} \\ &= \sqrt{8750.92} \\ &= 93.5 \, \mathrm{V} \end{align*} \begin{align*} \phi &= \tan^{-1}\left(\frac{30.6}{88.4}\right) \\ &= \tan^{-1}(0.346) \\ &= 19.1° \end{align*}したがって、フェーザの和は \(\dot{V}_{合計} = 93.5 \angle 19.1° \, \mathrm{V}\) となります。
時間領域では、これは \(v_{合計}(t) = 93.5 \times \sqrt{2} \sin(\omega t + 19.1°) = 132.2 \sin(\omega t + 19.1°) \, \mathrm{V}\) と表されます。
インピーダンス（Impedance）は、交流回路における電圧と電流の比を表す複素数です。インピーダンスは、抵抗とリアクタンスの両方の効果を含み、電圧と電流の位相関係も考慮します。
ここで：
インピーダンスの大きさと位相は以下のように計算できます：
\[|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\] \[\theta = \tan^{-1}\left(\frac{X}{R}\right)\]各素子のインピーダンス：
アドミタンス（Admittance）は、インピーダンスの逆数であり、交流回路における電流と電圧の比を表します：
ここで：
各素子のアドミタンス：
インピーダンスとアドミタンスの使い分け
インピーダンスは直列回路の解析に便利であり、直列接続されたインピーダンスは単純に加算できます。一方、アドミタンスは並列回路の解析に便利で、並列接続されたアドミタンスは単純に加算できます。複雑な回路では、両方の概念を状況に応じて使い分けることで、効率的に解析できます。
例題：インピーダンスとアドミタンス
周波数 1 kHz で、抵抗 100 Ω、インダクタ 50 mH、コンデンサ 2 μF のインピーダンスとアドミタンスをそれぞれ求めよ。
解答：
まず、角周波数を計算します：
\begin{align*} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 1000 \\ &= 6283 \, \mathrm{rad/s} \end{align*}抵抗のインピーダンスとアドミタンス：
\begin{align*} \dot{Z}_R &= R = 100 \, \Omega \\ \dot{Y}_R &= \frac{1}{\dot{Z}_R} = \frac{1}{100} = 0.01 \, \mathrm{S} \end{align*}インダクタのインピーダンスとアドミタンス：
\begin{align*} \dot{Z}_L &= j\omega L \\ &= j \times 6283 \times 0.05 \\ &= j314.2 \, \Omega \\ \dot{Y}_L &= \frac{1}{\dot{Z}_L} = \frac{1}{j314.2} = \frac{-j}{314.2} = -j0.00318 \, \mathrm{S} \end{align*}コンデンサのインピーダンスとアドミタンス：
\begin{align*} \dot{Z}_C &= \frac{1}{j\omega C} \\ &= \frac{1}{j \times 6283 \times 2 \times 10^{-6}} \\ &= \frac{1}{j0.01257} \\ &= \frac{-j}{0.01257} \\ &= -j79.6 \, \Omega \\ \dot{Y}_C &= j\omega C = j \times 6283 \times 2 \times 10^{-6} = j0.01257 \, \mathrm{S} \end{align*}直列回路では、すべての素子に同じ電流が流れます。インピーダンスの直列接続では、個々のインピーダンスを単純に加算することで全体のインピーダンスを求めることができます。
RLC直列回路の場合、全体のインピーダンスは：
インピーダンスの大きさは：
\[|\dot{Z}_{合計}| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\]位相角は：
\[\theta = \tan^{-1}\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)\]RLC直列回路の特性：
直列回路での電圧降下：
例題：RLC直列回路
抵抗 100 Ω、インダクタ 0.2 H、コンデンサ 10 μF が直列に接続されている。周波数 60 Hz の電源に接続したとき、以下を求めよ。
(1) 回路の合成インピーダンス
(2) 電源電圧が 100 V（実効値）のとき、回路に流れる電流
(3) 各素子の電圧降下
解答：
まず、角周波数を計算します：
\begin{align*} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 60 \\ &= 377 \, \mathrm{rad/s} \end{align*}インダクティブリアクタンスとキャパシティブリアクタンスを計算します：
\begin{align*} X_L &= \omega L \\ &= 377 \times 0.2 \\ &= 75.4 \, \Omega \end{align*} \begin{align*} X_C &= \frac{1}{\omega C} \\ &= \frac{1}{377 \times 10 \times 10^{-6}} \\ &= \frac{1}{0.00377} \\ &= 265.3 \, \Omega \end{align*}(1) 合成インピーダンス：
\begin{align*} \dot{Z}_{合計} &= R + j(X_L - X_C) \\ &= 100 + j(75.4 - 265.3) \\ &= 100 - j189.9 \, \Omega \end{align*}インピーダンスの大きさと位相角：
\begin{align*} |\dot{Z}_{合計}| &= \sqrt{100^2 + (-189.9)^2} \\ &= \sqrt{10000 + 36063} \\ &= \sqrt{46063} \\ &= 214.6 \, \Omega \end{align*} \begin{align*} \theta &= \tan^{-1}\left(\frac{-189.9}{100}\right) \\ &= \tan^{-1}(-1.899) \\ &= -62.2° \end{align*}したがって、合成インピーダンスは \(\dot{Z}_{合計} = 214.6 \angle -62.2° \, \Omega\) です。
(2) 回路に流れる電流：
\begin{align*} \dot{I} &= \frac{\dot{V}}{\dot{Z}_{合計}} \\ &= \frac{100 \angle 0°}{214.6 \angle -62.2°} \\ &= \frac{100}{214.6} \angle (0° - (-62.2°)) \\ &= 0.466 \angle 62.2° \, \mathrm{A} \end{align*}(3) 各素子の電圧降下：
抵抗の電圧降下：
\begin{align*} \dot{V}_R &= \dot{I} \times R \\ &= 0.466 \angle 62.2° \times 100 \angle 0° \\ &= 46.6 \angle 62.2° \, \mathrm{V} \end{align*}インダクタの電圧降下：
\begin{align*} \dot{V}_L &= \dot{I} \times j X_L \\ &= 0.466 \angle 62.2° \times 75.4 \angle 90° \\ &= 0.466 \times 75.4 \angle (62.2° + 90°) \\ &= 35.1 \angle 152.2° \, \mathrm{V} \end{align*}コンデンサの電圧降下：
\begin{align*} \dot{V}_C &= \dot{I} \times (-j X_C) \\ &= 0.466 \angle 62.2° \times 265.3 \angle -90° \\ &= 0.466 \times 265.3 \angle (62.2° - 90°) \\ &= 123.6 \angle -27.8° \, \mathrm{V} \end{align*}電圧降下の合計（フェーザ和）は：
\begin{align*} \dot{V}_{合計} &= \dot{V}_R + \dot{V}_L + \dot{V}_C \\ &= 46.6 \angle 62.2° + 35.1 \angle 152.2° + 123.6 \angle -27.8° \end{align*}ここで、各電圧を直交成分に分解して計算します（詳細計算は省略）。結果は \(\dot{V}_{合計} = 100 \angle 0° \, \mathrm{V}\) となり、元の電源電圧と一致します。
並列回路では、すべての素子に同じ電圧が印加されます。並列回路の解析には、アドミタンスを使用すると便利です。アドミタンスの並列接続では、個々のアドミタンスを単純に加算することで全体のアドミタンスを求めることができます。
インピーダンスを使って表すと：
\[\frac{1}{\dot{Z}_{合計}} = \frac{1}{\dot{Z}_1} + \frac{1}{\dot{Z}_2} + \frac{1}{\dot{Z}_3} + \ldots + \frac{1}{\dot{Z}_n}\]RLC並列回路の場合、全体のアドミタンスは：
ここで、\(G = \frac{1}{R}\) はコンダクタンス、\(B_C = \omega C\) はコンデンサのサセプタンス、\(B_L = \frac{1}{\omega L}\) はインダクタのサセプタンスです。
全体のインピーダンスは、アドミタンスの逆数です：
\[\dot{Z}_{合計} = \frac{1}{\dot{Y}_{合計}} = \frac{1}{G + j(B_C - B_L)}\]これを簡略化すると：
\[\dot{Z}_{合計} = \frac{G - j(B_C - B_L)}{G^2 + (B_C - B_L)^2} = \frac{G}{G^2 + (B_C - B_L)^2} - j\frac{B_C - B_L}{G^2 + (B_C - B_L)^2}\]RLC並列回路の特性：
並列回路での電流分配：
並列回路における2素子の場合
2つの素子 \(\dot{Z}_1\) と \(\dot{Z}_2\) が並列接続されている場合、合成インピーダンスは以下の簡略式で計算できます：
これは直流回路の並列抵抗の計算式 \(R_{合計} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}\) と同じ形式です。ただし、インピーダンスは複素数であることに注意してください。
例題：RLC並列回路
抵抗 200 Ω、インダクタ 0.5 H、コンデンサ 4 μF が並列に接続されている。周波数 50 Hz の電源に接続したとき、以下を求めよ。
(1) 回路の合成インピーダンス
(2) 電源電圧が 100 V（実効値）のとき、各素子と全体の電流
解答：
まず、角周波数を計算します：
\begin{align*} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 50 \\ &= 314 \, \mathrm{rad/s} \end{align*}各素子のアドミタンスを計算します：
\begin{align*} \dot{Y}_R &= \frac{1}{R} = \frac{1}{200} = 0.005 \, \mathrm{S} \\ \dot{Y}_L &= \frac{1}{j\omega L}各素子のアドミタンスを計算します：
\begin{align*} \dot{Y}_R &= \frac{1}{R} = \frac{1}{200} = 0.005 \, \mathrm{S} \\ \dot{Y}_L &= \frac{1}{j\omega L} = \frac{1}{j314 \times 0.5} = \frac{1}{j157} = -j0.00637 \, \mathrm{S} \\ \dot{Y}_C &= j\omega C = j314 \times 4 \times 10^{-6} = j0.00126 \, \mathrm{S} \end{align*}(1) 合成アドミタンスとインピーダンス：
\begin{align*} \dot{Y}_{合計} &= \dot{Y}_R + \dot{Y}_L + \dot{Y}_C \\ &= 0.005 + (-j0.00637) + j0.00126 \\ &= 0.005 - j0.00511 \, \mathrm{S} \end{align*}合成インピーダンスはアドミタンスの逆数です：
\begin{align*} \dot{Z}_{合計} &= \frac{1}{\dot{Y}_{合計}} \\ &= \frac{1}{0.005 - j0.00511} \\ &= \frac{0.005 + j0.00511}{(0.005)^2 + (0.00511)^2} \\ &= \frac{0.005 + j0.00511}{0.000025 + 0.0000261} \\ &= \frac{0.005 + j0.00511}{0.0000511} \\ &= 97.8 + j100.0 \, \Omega \end{align*}インピーダンスの大きさと位相角：
\begin{align*} |\dot{Z}_{合計}| &= \sqrt{97.8^2 + 100.0^2} \\ &= \sqrt{9565 + 10000} \\ &= \sqrt{19565} \\ &= 139.9 \, \Omega \end{align*} \begin{align*} \theta &= \tan^{-1}\left(\frac{100.0}{97.8}\right) \\ &= \tan^{-1}(1.02) \\ &= 45.6° \end{align*}したがって、合成インピーダンスは \(\dot{Z}_{合計} = 139.9 \angle 45.6° \, \Omega\) です。
(2) 各素子と全体の電流：
各素子の電流（電圧を 100 V∠0° とする）：
\begin{align*} \dot{I}_R &= \dot{V} \times \dot{Y}_R \\ &= 100 \angle 0° \times 0.005 \angle 0° \\ &= 0.5 \angle 0° \, \mathrm{A} \end{align*} \begin{align*} \dot{I}_L &= \dot{V} \times \dot{Y}_L \\ &= 100 \angle 0° \times 0.00637 \angle -90° \\ &= 0.637 \angle -90° \, \mathrm{A} \end{align*} \begin{align*} \dot{I}_C &= \dot{V} \times \dot{Y}_C \\ &= 100 \angle 0° \times 0.00126 \angle 90° \\ &= 0.126 \angle 90° \, \mathrm{A} \end{align*}全体の電流は各素子の電流のフェーザ和、または電源電圧を合成インピーダンスで割ることで計算できます：
\begin{align*} \dot{I}_{合計} &= \frac{\dot{V}}{\dot{Z}_{合計}} \\ &= \frac{100 \angle 0°}{139.9 \angle 45.6°} \\ &= \frac{100}{139.9} \angle (0° - 45.6°) \\ &= 0.715 \angle -45.6° \, \mathrm{A} \end{align*}確認のため、各素子の電流のフェーザ和を計算します（詳細計算は省略）。結果は \(\dot{I}_{合計} = 0.715 \angle -45.6° \, \mathrm{A}\) となり、上記の計算と一致します。
共振（Resonance）は、インダクタとコンデンサのリアクタンスが打ち消し合い、回路全体のリアクタンスがゼロになる状態です。共振現象は無線通信、フィルタ回路、発振器など様々な電子回路で利用されています。
直列共振の条件は：
つまり：
\[\omega L = \frac{1}{\omega C}\]このとき、共振角周波数（共振周波数）は：
\[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad \text{または} \quad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]直列共振の特性：
並列共振の条件も基本的には同じですが、わずかに異なることがあります：
理想的な場合（抵抗がない場合）は直列共振と同じ共振周波数になります：
\[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad \text{または} \quad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]実際には抵抗の影響で、並列共振の正確な共振周波数は少しずれることがあります。
並列共振の特性：
共振回路の重要なパラメータとして、Q値（品質係数）があります：
直列共振回路の場合：
\[Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 CR}\]並列共振回路の場合（並列抵抗 R_p）：
\[Q = \frac{R_p}{\omega_0 L} = \omega_0 CR_p\]Q値が高いほど共振がシャープで、共振周波数での選択性が高くなります。これは、バンドパスフィルタなど周波数選択回路で重要です。
共振回路の帯域幅
共振回路の帯域幅（Bandwidth）は、振幅が最大値の \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)（約70.7%）、つまり電力が半分（-3 dB）になる周波数の幅で定義されます。帯域幅 \(\Delta f\) とQ値の関係は以下の通りです：
つまり、Q値が高いほど帯域幅は狭くなります。無線通信では、狭い帯域幅で特定の周波数を選択するために高いQ値が求められる一方、テレビやラジオの受信機ではある程度の帯域幅が必要なため、適度なQ値に設計されます。
例題：共振回路
インダクタンス 250 mH とキャパシタンス 1 μF の直列共振回路がある。回路の抵抗は 10 Ω とする。
(1) 共振周波数を求めよ。
(2) Q値と帯域幅を求めよ。
(3) 共振時、100 V の電源電圧を印加した場合のインダクタとコンデンサの両端電圧を求めよ。
解答：
(1) 共振周波数：
\begin{align*} f_0 &= \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{0.25 \times 10^{-6}}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{2.5 \times 10^{-7}}} \\ &= \frac{1}{2\pi \times 5 \times 10^{-4}} \\ &= \frac{1}{3.14 \times 10^{-3}} \\ &= 318.3 \, \mathrm{Hz} \end{align*}角周波数は：
\begin{align*} \omega_0 &= 2\pi f_0 \\ &= 2\pi \times 318.3 \\ &= 2000 \, \mathrm{rad/s} \end{align*}(2) Q値と帯域幅：
\begin{align*} Q &= \frac{\omega_0 L}{R} \\ &= \frac{2000 \times 0.25}{10} \\ &= \frac{500}{10} \\ &= 50 \end{align*}帯域幅：
\begin{align*} \Delta f &= \frac{f_0}{Q} \\ &= \frac{318.3}{50} \\ &= 6.37 \, \mathrm{Hz} \end{align*}(3) 共振時の素子電圧：
共振時、回路のインピーダンスは純抵抗 \(Z = R = 10 \, \Omega\) となります。流れる電流は：
\begin{align*} I &= \frac{V}{R} \\ &= \frac{100}{10} \\ &= 10 \, \mathrm{A} \end{align*}共振周波数でのインダクタとコンデンサのリアクタンスは等しく：
\begin{align*} X_L &= \omega_0 L \\ &= 2000 \times 0.25 \\ &= 500 \, \Omega \end{align*} \begin{align*} X_C &= \frac{1}{\omega_0 C} \\ &= \frac{1}{2000 \times 10^{-6}} \\ &= \frac{1}{0.002} \\ &= 500 \, \Omega \end{align*}インダクタの電圧：
\begin{align*} V_L &= I \times X_L \\ &= 10 \times 500 \\ &= 5000 \, \mathrm{V} \end{align*}コンデンサの電圧：
\begin{align*} V_C &= I \times X_C \\ &= 10 \times 500 \\ &= 5000 \, \mathrm{V} \end{align*}インダクタとコンデンサの電圧は、電源電圧の50倍になっています！これは、共振現象による電圧増幅の例です。ただし、インダクタとコンデンサの電圧は180°の位相差があるため、それらのフェーザ和は \(V_L - V_C = 0\) となり、抵抗の電圧降下（100 V）のみが残ります。
この例では、Q値が高い（Q = 50）ため、素子の電圧が大きく増幅されています。実際の回路設計では、このような高電圧に耐えられるよう、素子の耐電圧を考慮する必要があります。
交流回路の解析まとめ
交流回路における電力には、有効電力、無効電力、皮相電力の3種類があります。これらの概念は、交流回路での電力の理解と管理において重要です。
1. 皮相電力（Apparent Power）
皮相電力（S）は、電圧の実効値と電流の実効値の積で表され、単位はボルトアンペア（VA）です：
複素数表示では：
\[\dot{S} = \dot{V} \times \dot{I}^* = P + jQ\]ここで、\(\dot{I}^*\) は電流フェーザの複素共役を表します。
皮相電力は回路内の「見かけの」電力であり、電圧と電流の実効値から計算されます。しかし、これは実際に消費または蓄積される電力を正確に表していません。
2. 有効電力（Active Power）
有効電力（P）は、実際に熱や仕事などのエネルギーとして消費される電力成分で、単位はワット（W）です：
ここで、\(\phi\) は電圧と電流の位相差（インピーダンスの位相角）です。
抵抗 R のみの場合：
\[P = I_{rms}^2 \times R = \frac{V_{rms}^2}{R}\]有効電力は電力量計に記録され、電力会社から請求される電力です。これは実際に使用される電力であり、照明、暖房、モーターなどで消費されます。
3. 無効電力（Reactive Power）
無効電力（Q）は、インダクタとコンデンサ間を行き来するエネルギーに相当し、実際には消費されない電力成分です。単位はバール（var）またはボルトアンペア無効（VAR）です：
インダクタの場合（正の無効電力）：
\[Q_L = I_{rms}^2 \times X_L = \frac{V_{rms}^2}{X_L}\]コンデンサの場合（負の無効電力）：
\[Q_C = -I_{rms}^2 \times X_C = -\frac{V_{rms}^2}{X_C}\]無効電力は送電線の負荷を増やしますが、実際の仕事には寄与しません。インダクタは無効電力を消費し、コンデンサは無効電力を供給すると考えることができます。
電力三角形の関係
有効電力（P）、無効電力（Q）、皮相電力（S）の間には、次の関係があります：
また、力率（Power Factor）は：
\[\cos\phi = \frac{P}{S} = \frac{R}{|Z|}\]これらの関係は、複素数としてのインピーダンスの実部と虚部の関係と対応しています。電力三角形は、インピーダンス三角形と似た形をしています。
例題：電力計算
インピーダンス \(Z = 40 + j30 \, \Omega\) の回路に、電圧 200 V（実効値）の電源を接続した場合、有効電力、無効電力、皮相電力、および力率を求めよ。
解答：
まず、インピーダンスの絶対値と位相角を計算します：
\begin{align*} |Z| &= \sqrt{40^2 + 30^2} \\ &= \sqrt{1600 + 900} \\ &= \sqrt{2500} \\ &= 50 \, \Omega \end{align*} \begin{align*} \phi &= \tan^{-1}\left(\frac{30}{40}\right) \\ &= \tan^{-1}(0.75) \\ &= 36.9° \end{align*}回路に流れる電流の実効値：
\begin{align*} I_{rms} &= \frac{V_{rms}}{|Z|} \\ &= \frac{200}{50} \\ &= 4 \, \mathrm{A} \end{align*}皮相電力：
\begin{align*} S &= V_{rms} \times I_{rms} \\ &= 200 \times 4 \\ &= 800 \, \mathrm{VA} \end{align*}有効電力：
\begin{align*} P &= S \times \cos\phi \\ &= 800 \times \cos 36.9° \\ &= 800 \times 0.8 \\ &= 640 \, \mathrm{W} \end{align*}別の計算方法：
\begin{align*} P &= I_{rms}^2 \times R \\ &= 4^2 \times 40 \\ &= 16 \times 40 \\ &= 640 \, \mathrm{W} \end{align*}無効電力：
\begin{align*} Q &= S \times \sin\phi \\ &= 800 \times \sin 36.9° \\ &= 800 \times 0.6 \\ &= 480 \, \mathrm{var} \end{align*}別の計算方法：
\begin{align*} Q &= I_{rms}^2 \times X \\ &= 4^2 \times 30 \\ &= 16 \times 30 \\ &= 480 \, \mathrm{var} \end{align*}力率：
\begin{align*} \cos\phi &= \frac{P}{S} \\ &= \frac{640}{800} \\ &= 0.8 \end{align*}したがって、有効電力は 640 W、無効電力は 480 var、皮相電力は 800 VA、力率は 0.8（遅れ）です。
力率（Power Factor）は、皮相電力に対する有効電力の比であり、電圧と電流の位相差の余弦になります：
ここで、\(\phi\) は電圧と電流の位相差、\(R\) は抵抗成分、\(|Z|\) はインピーダンスの絶対値です。
力率の特性：
力率には「進み」と「遅れ」があり、負荷の特性を示します：
力率改善（Power Factor Correction）は、低い力率を改善して電力系統の効率を上げる技術です。主な方法は、適切な補償用コンデンサを並列に接続することです。
必要なコンデンサの容量（無効電力）：
\[Q_C = P \times (\tan\phi_1 - \tan\phi_2)\]ここで、\(\phi_1\) は改善前の位相角、\(\phi_2\) は目標の位相角です。
必要なコンデンサの静電容量：
\[C = \frac{Q_C}{\omega V^2} = \frac{P \times (\tan\phi_1 - \tan\phi_2)}{\omega V^2}\]力率改善の利点：
力率改善の利点：
力率改善の経済的効果
多くの電力会社は、大口需要家に対して力率に基づく料金体系を採用しています。例えば、基準力率（通常85%）を下回ると割増料金が適用され、上回ると割引が適用されることがあります。産業用設備では、モーターなどのインダクティブ負荷が多いため、力率は自然に遅れがちです。適切なコンデンサバンクを設置することで、長期的には電気料金の削減につながり、投資回収が可能です。また、力率改善により設備容量に余裕ができ、新たな設備投資を延期できることもあります。
例題：力率改善
工場の総負荷は 100 kW で、力率は 0.75（遅れ）である。これを 0.95（遅れ）に改善するために必要なコンデンサの容量（kvar）と、200 V、60 Hz の電源を使用する場合の静電容量（μF）を求めよ。
解答：
現在の位相角 \(\phi_1\) と目標の位相角 \(\phi_2\) を求めます：
\begin{align*} \phi_1 &= \cos^{-1}(0.75) = 41.4° \\ \phi_2 &= \cos^{-1}(0.95) = 18.2° \end{align*}必要なコンデンサの容量（無効電力）：
\begin{align*} Q_C &= P \times (\tan\phi_1 - \tan\phi_2) \\ &= 100 \times (\tan 41.4° - \tan 18.2°) \\ &= 100 \times (0.882 - 0.329) \\ &= 100 \times 0.553 \\ &= 55.3 \, \mathrm{kvar} \end{align*}必要なコンデンサの静電容量：
\begin{align*} C &= \frac{Q_C}{\omega V^2} \\ &= \frac{55.3 \times 10^3}{2\pi \times 60 \times (200)^2} \\ &= \frac{55.3 \times 10^3}{2\pi \times 60 \times 4 \times 10^4} \\ &= \frac{55.3 \times 10^3}{15.08 \times 10^6} \\ &= 3.67 \times 10^{-3} \, \mathrm{F} \\ &= 3670 \, \mu\mathrm{F} \end{align*}したがって、必要なコンデンサの容量は 55.3 kvar、静電容量は 3670 μF です。実際の設置では、複数の小容量コンデンサを並列に接続し、負荷の変動に応じて段階的に切り替えられるようにすることが一般的です。
交流電力の測定には、電圧計、電流計、電力計など各種の計測器が使用されます。ここでは、主な測定方法と各種電力の測定原理について説明します。
1. 電圧と電流の測定
基本的な測定では、電圧計（ボルトメーター）と電流計（アンペアメーター）を使用します：
これらの測定値から皮相電力を計算できます：
2. 有効電力の測定
有効電力の測定には、電力計（ワットメーター）を使用します。電力計の原理は、電圧と電流の瞬時値の積を平均化するものです：
電力計は、電圧コイル（高抵抗）と電流コイル（低抵抗）から構成され、それらの相互作用により指針が振れます。
3. 無効電力の測定
無効電力の測定には、以下の方法があります：
4. 力率の測定
力率は以下の方法で測定できます：
5. 三相電力の測定
三相回路の電力測定には、以下の方法があります：
2電力計法での全電力：
\[P = P_1 + P_2\]3電力計法での全電力：
\[P = P_1 + P_2 + P_3\]測定誤差と補正
電力測定では、測定器自体の消費電力や接続方法による誤差が生じることがあります。高精度の測定が必要な場合は、これらの誤差を補正する必要があります。例えば、電圧計の内部抵抗による電流の分流や、電流計の内部抵抗による電圧降下などを考慮します。また、デジタル測定器では、非正弦波（高調波を含む波形）の測定に対応したTrue RMS（真の実効値）測定機能が重要です。
例題：電力測定
単相交流回路で、電圧計の指示値が 200 V、電流計の指示値が 5 A、電力計の指示値が 800 W であった。この回路の力率と無効電力を求めよ。
解答：
皮相電力を計算します：
\begin{align*} S &= V \times I \\ &= 200 \times 5 \\ &= 1000 \, \mathrm{VA} \end{align*}力率を計算します：
\begin{align*} \cos\phi &= \frac{P}{S} \\ &= \frac{800}{1000} \\ &= 0.8 \end{align*}無効電力を計算します：
\begin{align*} Q &= \sqrt{S^2 - P^2} \\ &= \sqrt{1000^2 - 800^2} \\ &= \sqrt{1000000 - 640000} \\ &= \sqrt{360000} \\ &= 600 \, \mathrm{var} \end{align*}または、力率の正弦値から計算することもできます：
\begin{align*} \sin\phi &= \sqrt{1 - \cos^2\phi} \\ &= \sqrt{1 - 0.8^2} \\ &= \sqrt{1 - 0.64} \\ &= \sqrt{0.36} \\ &= 0.6 \end{align*} \begin{align*} Q &= S \times \sin\phi \\ &= 1000 \times 0.6 \\ &= 600 \, \mathrm{var} \end{align*}したがって、力率は 0.8（遅れ）、無効電力は 600 var です。
三相交流は、位相が120°ずつずれた3つの交流電圧/電流から構成される電力システムです。三相交流は発電、送電、電動機駆動などでエネルギー効率が良いため、産業用電力システムで広く使用されています。
三相交流の各相の電圧/電流は、以下のように表すことができます：
三相交流の結線方式には、主に以下の2種類があります：
1. Y結線（スター結線）
2. Δ結線（デルタ結線）
三相交流の電力
三相交流の全電力は、各相の電力の合計です。バランスのとれた（対称）三相回路では：
有効電力（全相）：
\[P = 3 \times V_{相} \times I_{相} \times \cos\phi = \sqrt{3} \times V_{線間} \times I_{線} \times \cos\phi\]無効電力（全相）：
\[Q = 3 \times V_{相} \times I_{相} \times \sin\phi = \sqrt{3} \times V_{線間} \times I_{線} \times \sin\phi\]皮相電力（全相）：
\[S = 3 \times V_{相} \times I_{相} = \sqrt{3} \times V_{線間} \times I_{線}\]三相交流システムの利点：
三相交流と単相交流の違い
三相システムでは、三つの相の瞬時電力の合計が一定となり、電力の脈動がありません。これに対し、単相システムでは電力が2倍の周波数で脈動します。このため、三相モーターは単相モーターよりも振動が少なく、運転が滑らかです。また、三相システムでは、同じ電力を送るために必要な導体の銅量が単相の場合の75%程度で済みます。実際の利用では、大きな電力を必要とする産業用機器は三相で駆動され、一般家庭では単相（単相3線式）が使用されています。
例題：三相交流回路
三相交流回路が、Y結線で相電圧 200 V、線電流 10 A、力率 0.85（遅れ）で負荷に電力を供給している。
(1) 線間電圧を求めよ。
(2) 全体の有効電力、無効電力、皮相電力を求めよ。
解答：
(1) Y結線の場合、線間電圧は相電圧の \(\sqrt{3}\) 倍：
\begin{align*} V_{線間} &= \sqrt{3} \times V_{相} \\ &= \sqrt{3} \times 200 \\ &= 1.732 \times 200 \\ &= 346.4 \, \mathrm{V} \end{align*}(2) 全体の電力：
有効電力：
\begin{align*} P &= 3 \times V_{相} \times I_{相} \times \cos\phi \\ &= 3 \times 200 \times 10 \times 0.85 \\ &= 5100 \, \mathrm{W} = 5.1 \, \mathrm{kW} \end{align*}別の計算方法：
\begin{align*} P &= \sqrt{3} \times V_{線間} \times I_{線} \times \cos\phi \\ &= \sqrt{3} \times 346.4 \times 10 \times 0.85 \\ &= 1.732 \times 346.4 \times 10 \times 0.85 \\ &= 5100 \, \mathrm{W} = 5.1 \, \mathrm{kW} \end{align*}無効電力：
\begin{align*} Q &= 3 \times V_{相} \times I_{相} \times \sin\phi \\ &= 3 \times 200 \times 10 \times \sin(\cos^{-1}(0.85)) \\ &= 3 \times 200 \times 10 \times 0.527 \\ &= 3162 \, \mathrm{var} = 3.16 \, \mathrm{kvar} \end{align*}皮相電力：
\begin{align*} S &= 3 \times V_{相} \times I_{相} \\ &= 3 \times 200 \times 10 \\ &= 6000 \, \mathrm{VA} = 6 \, \mathrm{kVA} \end{align*}または、有効電力と無効電力から計算：
\begin{align*} S &= \sqrt{P^2 + Q^2} \\ &= \sqrt{5.1^2 + 3.16^2} \\ &= \sqrt{26.01 + 9.99} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6 \, \mathrm{kVA} \end{align*}したがって、線間電圧は 346.4 V、有効電力は 5.1 kW、無効電力は 3.16 kvar、皮相電力は 6 kVA です。
交流電力まとめ
問題1：RLC直列回路
抵抗 \(R = 50 \, \Omega\)、インダクタンス \(L = 0.1 \, \mathrm{H}\)、静電容量 \(C = 20 \, \mu\mathrm{F}\) の直列回路がある。この回路に周波数 60 Hz、電圧 100 V（実効値）の電源を接続した場合、以下を求めよ。
(1) 各素子のリアクタンスと合成インピーダンス
(2) 回路を流れる電流
(3) 各素子の電圧降下
(4) 有効電力、無効電力、皮相電力、力率
解答：
まず、角周波数を計算します：
\begin{align*} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 60 \\ &= 377 \, \mathrm{rad/s} \end{align*}(1) 各素子のリアクタンスと合成インピーダンス：
インダクティブリアクタンス：
\begin{align*} X_L &= \omega L \\ &= 377 \times 0.1 \\ &= 37.7 \, \Omega \end{align*}キャパシティブリアクタンス：
\begin{align*} X_C &= \frac{1}{\omega C} \\ &= \frac{1}{377 \times 20 \times 10^{-6}} \\ &= \frac{1}{0.00754} \\ &= 132.6 \, \Omega \end{align*}全リアクタンス（正味）：
\begin{align*} X &= X_L - X_C \\ &= 37.7 - 132.6 \\ &= -94.9 \, \Omega \end{align*}負のリアクタンスは、回路が全体としてキャパシティブであることを示しています。
合成インピーダンス：
\begin{align*} Z &= R + jX \\ &= 50 - j94.9 \, \Omega \end{align*}インピーダンスの大きさ：
\begin{align*} |Z| &= \sqrt{R^2 + X^2} \\ &= \sqrt{50^2 + (-94.9)^2} \\ &= \sqrt{2500 + 9006} \\ &= \sqrt{11506} \\ &= 107.3 \, \Omega \end{align*}位相角：
\begin{align*} \phi &= \tan^{-1}\left(\frac{X}{R}\right) \\ &= \tan^{-1}\left(\frac{-94.9}{50}\right) \\ &= \tan^{-1}(-1.898) \\ &= -62.2° \end{align*}したがって、合成インピーダンスは \(Z = 107.3 \angle -62.2° \, \Omega\) です。
(2) 回路を流れる電流：
\begin{align*} I &= \frac{V}{|Z|} \\ &= \frac{100}{107.3} \\ &= 0.932 \, \mathrm{A} \end{align*}電流の位相は、電圧の位相よりも \(\phi = -62.2°\) 進んでいます（キャパシティブなため）。
(3) 各素子の電圧降下：
抵抗の電圧降下：
\begin{align*} V_R &= I \times R \\ &= 0.932 \times 50 \\ &= 46.6 \, \mathrm{V} \end{align*}インダクタの電圧降下：
\begin{align*} V_L &= I \times X_L \\ &= 0.932 \times 37.7 \\ &= 35.1 \, \mathrm{V} \end{align*}コンデンサの電圧降下：
\begin{align*} V_C &= I \times X_C \\ &= 0.932 \times 132.6 \\ &= 123.6 \, \mathrm{V} \end{align*}インダクタの電圧は電流より90°遅れ、コンデンサの電圧は電流より90°進みます。
(4) 有効電力、無効電力、皮相電力、力率：
有効電力：
\begin{align*} P &= I^2 \times R \\ &= 0.932^2 \times 50 \\ &= 0.869 \times 50 \\ &= 43.4 \, \mathrm{W} \end{align*}無効電力（インダクタ）：
\begin{align*} Q_L &= I^2 \times X_L \\ &= 0.869 \times 37.7 \\ &= 32.8 \, \mathrm{var} \end{align*}無効電力（コンデンサ）：
\begin{align*} Q_C &= I^2 \times X_C \\ &= 0.869 \times 132.6 \\ &= 115.2 \, \mathrm{var} \end{align*}全体の無効電力：
\begin{align*} Q &= Q_L - Q_C \\ &= 32.8 - 115.2 \\ &= -82.4 \, \mathrm{var} \end{align*}無効電力が負の値であることは、回路が全体として容量性であることを示しています。
皮相電力：
\begin{align*} S &= V \times I \\ &= 100 \times 0.932 \\ &= 93.2 \, \mathrm{VA} \end{align*}または：
\begin{align*} S &= \sqrt{P^2 + Q^2} \\ &= \sqrt{43.4^2 + (-82.4)^2} \\ &= \sqrt{1883.6 + 6789.8} \\ &= \sqrt{8673.4} \\ &= 93.1 \, \mathrm{VA} \end{align*}（わずかな誤差は丸め誤差によるものです）
力率：
\begin{align*} \cos\phi &= \frac{P}{S} \\ &= \frac{43.4}{93.2} \\ &= 0.466 \end{align*}または：
\begin{align*} \cos\phi &= \cos(-62.2°) \\ &= 0.466 \end{align*}力率は0.466（進み）です。「進み」は、電流が電圧より位相が進んでいることを示し、回路が容量性であることを反映しています。
問題2：RLC並列回路
抵抗 \(R = 200 \, \Omega\)、インダクタンス \(L = 0.5 \, \mathrm{H}\)、静電容量 \(C = 5 \, \mu\mathrm{F}\) の並列回路がある。この回路に周波数 50 Hz、電圧 120 V（実効値）の電源を接続した場合、以下を求めよ。
(1) 各素子のアドミタンスと合成アドミタンス
(2) 各素子と全体の電流
(3) 有効電力、無効電力、皮相電力、力率
解答：
まず、角周波数を計算します：
\begin{align*} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 50 \\ &= 314 \, \mathrm{rad/s} \end{align*}(1) 各素子のアドミタンスと合成アドミタンス：
抵抗のアドミタンス：
\begin{align*} Y_R &= \frac{1}{R} \\ &= \frac{1}{200} \\ &= 0.005 \, \mathrm{S} \end{align*}インダクタのアドミタンス：
\begin{align*} Y_L &= \frac{1}{j\omega L} \\ &= \frac{1}{j \times 314 \times 0.5} \\ &= \frac{1}{j157} \\ &= -j0.00637 \, \mathrm{S} \end{align*}コンデンサのアドミタンス：
\begin{align*} Y_C &= j\omega C \\ &= j \times 314 \times 5 \times 10^{-6} \\ &= j0.00157 \, \mathrm{S} \end{align*}合成アドミタンス：
\begin{align*} Y &= Y_R + Y_L + Y_C \\ &= 0.005 + (-j0.00637) + j0.00157 \\ &= 0.005 - j0.0048 \, \mathrm{S} \end{align*}アドミタンスの大きさ：
\begin{align*} |Y| &= \sqrt{G^2 + B^2} \\ &= \sqrt{0.005^2 + (-0.0048)^2} \\ &= \sqrt{0.000025 + 0.000023} \\ &= \sqrt{0.000048} \\ &= 0.00693 \, \mathrm{S} \end{align*}位相角：
\begin{align*} \theta &= \tan^{-1}\left(\frac{B}{G}\right) \\ &= \tan^{-1}\left(\frac{-0.0048}{0.005}\right) \\ &= \tan^{-1}(-0.96) \\ &= -43.9° \end{align*}したがって、合成アドミタンスは \(Y = 0.00693 \angle -43.9° \, \mathrm{S}\) です。
(2) 各素子と全体の電流：
抵抗の電流：
\begin{align*} I_R &= V \times Y_R \\ &= 120 \times 0.005 \\ &= 0.6 \, \mathrm{A} \end{align*}インダクタの電流：
\begin{align*} I_L &= V \times |Y_L| \\ &= 120 \times 0.00637 \\ &= 0.764 \, \mathrm{A} \end{align*}コンデンサの電流：
\begin{align*} I_C &= V \times |Y_C| \\ &= 120 \times 0.00157 \\ &= 0.188 \, \mathrm{A} \end{align*}全体の電流：
\begin{align*} I &= V \times |Y| \\ &= 120 \times 0.00693 \\ &= 0.832 \, \mathrm{A} \end{align*}各素子の電流の位相に注意すると：
(3) 有効電力、無効電力、皮相電力、力率：
有効電力：
\begin{align*} P &= V^2 \times G \\ &= 120^2 \times 0.005 \\ &= 14400 \times 0.005 \\ &= 72 \, \mathrm{W} \end{align*}または：
\begin{align*} P &= I_R^2 \times R \\ &= 0.6^2 \times 200 \\ &= 0.36 \times 200 \\ &= 72 \, \mathrm{W} \end{align*}無効電力（インダクタ）：
\begin{align*} Q_L &= V^2 \times B_L \\ &= 120^2 \times 0.00637 \\ &= 14400 \times 0.00637 \\ &= 91.7 \, \mathrm{var} \end{align*}無効電力（コンデンサ）：
\begin{align*} Q_C &= V^2 \times B_C \\ &= 14400 \times 0.00157 \\ &= 22.6 \, \mathrm{var} \end{align*}全体の無効電力：
\begin{align*} Q &= Q_L - Q_C \\ &= 91.7 - 22.6 \\ &= 69.1 \, \mathrm{var} \end{align*}無効電力が正の値であることは、回路が全体として誘導性であることを示しています。
皮相電力：
\begin{align*} S &= V \times I \\ &= 120 \times 0.832 \\ &= 99.8 \, \mathrm{VA} \end{align*}または：
\begin{align*} S &= \sqrt{P^2 + Q^2} \\ &= \sqrt{72^2 + 69.1^2} \\ &= \sqrt{5184 + 4775} \\ &= \sqrt{9959} \\ &= 99.8 \, \mathrm{VA} \end{align*}力率：
\begin{align*} \cos\phi &= \frac{P}{S} \\ &= \frac{72}{99.8} \\ &= 0.721 \end{align*}または：
\begin{align*} \cos\phi &= \cos(43.9°) \\ &= 0.721 \end{align*}力率は0.721（遅れ）です。「遅れ」は、電流が電圧より位相が遅れていることを示し、回路が誘導性であることを反映しています。
問題3：共振回路と力率改善
抵抗 \(R = 20 \, \Omega\) とインダクタンス \(L = 0.1 \, \mathrm{H}\) が直列に接続されている。周波数 60 Hz の電源に接続したときの力率を1に改善するために必要なコンデンサの静電容量を求めよ。また、共振時の回路のインピーダンスと Q 値を求めよ。
解答：
まず、角周波数を計算します：
\begin{align*} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 60 \\ &= 377 \, \mathrm{rad/s} \end{align*}インダクティブリアクタンスを計算します：
\begin{align*} X_L &= \omega L \\ &= 377 \times 0.1 \\ &= 37.7 \, \Omega \end{align*}力率を1にする（共振状態にする）ためには、\(X_L = X_C\) となるコンデンサが必要です。したがって：
\begin{align*} X_C &= X_L \\ \frac{1}{\omega C} &= 37.7 \\ C &= \frac{1}{\omega X_L} \\ &= \frac{1}{377 \times 37.7} \\ &= \frac{1}{14215} \\ &= 7.03 \times 10^{-5} \, \mathrm{F} \\ &= 70.3 \, \mu\mathrm{F} \end{align*}共振時には、インダクタとコンデンサのリアクタンスが打ち消し合い、回路全体は純抵抗として振る舞います。したがって、共振時のインピーダンスは：
\begin{align*} Z_{共振} &= R \\ &= 20 \, \Omega \end{align*}共振回路の Q 値は以下の式で計算できます：
\begin{align*} Q &= \frac{\omega L}{R} \\ &= \frac{37.7}{20} \\ &= 1.89 \end{align*}したがって、力率を1にするために必要なコンデンサの静電容量は 70.3 μF、共振時のインピーダンスは 20 Ω、Q 値は 1.89 です。
第三種電気主任技術者試験 過去問（類似問題）
周波数 50 Hz の正弦波交流において、抵抗 \(R = 10 \, \Omega\)、静電容量 \(C = 200 \, \mu\mathrm{F}\)、インダクタンス \(L = 50 \, \mathrm{mH}\) を持つ回路がある。
(1) 抵抗とコンデンサが直列に接続されているとき、合成インピーダンスを求めよ。
(2) 抵抗とインダクタが並列に接続されているとき、合成インピーダンスを求めよ。
(3) 抵抗、コンデンサ、インダクタが直列に接続されているとき、合成インピーダンスを求めよ。
解答：
まず、角周波数を計算します：
\begin{align*} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 50 \\ &= 314 \, \mathrm{rad/s} \end{align*}各素子のリアクタンスを計算します：
\begin{align*} X_L &= \omega L \\ &= 314 \times 0.05 \\ &= 15.7 \, \Omega \end{align*} \begin{align*} X_C &= \frac{1}{\omega C} \\ &= \frac{1}{314 \times 200 \times 10^{-6}} \\ &= \frac{1}{0.0628} \\ &= 15.9 \, \Omega \end{align*}(1) 抵抗とコンデンサの直列接続：
直列接続では、インピーダンスは加算されます：
\begin{align*} Z_1 &= R - jX_C \\ &= 10 - j15.9 \, \Omega \end{align*}インピーダンスの大きさ：
\begin{align*} |Z_1| &= \sqrt{R^2 + X_C^2} \\ &= \sqrt{10^2 + 15.9^2} \\ &= \sqrt{100 + 252.8} \\ &= \sqrt{352.8} \\ &= 18.8 \, \Omega \end{align*}位相角：
\begin{align*} \phi_1 &= \tan^{-1}\left(\frac{-X_C}{R}\right) \\ &= \tan^{-1}\left(\frac{-15.9}{10}\right) \\ &= \tan^{-1}(-1.59) \\ &= -57.8° \end{align*}したがって、抵抗とコンデンサの直列接続の合成インピーダンスは \(Z_1 = 18.8 \angle -57.8° \, \Omega\) です。
(2) 抵抗とインダクタの並列接続：
並列接続では、アドミタンスは加算されます：
\begin{align*} Y_R &= \frac{1}{R} = \frac{1}{10} = 0.1 \, \mathrm{S} \\ Y_L &= \frac{1}{j\omega L} = \frac{1}{j15.7} = -j0.0637 \, \mathrm{S} \end{align*}合成アドミタンス：
\begin{align*} Y_2 &= Y_R + Y_L \\ &= 0.1 - j0.0637 \, \mathrm{S} \end{align*}合成インピーダンスは、アドミタンスの逆数です：
\begin{align*} Z_2 &= \frac{1}{Y_2} \\ &= \frac{1}{0.1 - j0.0637} \\ &= \frac{0.1 + j0.0637}{(0.1)^2 + (0.0637)^2} \\ &= \frac{0.1 + j0.0637}{0.01 + 0.00406} \\ &= \frac{0.1 + j0.0637}{0.01406} \\ &= 7.11 + j4.53 \, \Omega \end{align*}インピーダンスの大きさ：
\begin{align*} |Z_2| &= \sqrt{7.11^2 + 4.53^2} \\ &= \sqrt{50.6 + 20.5} \\ &= \sqrt{71.1} \\ &= 8.43 \, \Omega \end{align*}位相角：
\begin{align*} \phi_2 &= \tan^{-1}\left(\frac{4.53}{7.11}\right) \\ &= \tan^{-1}(0.637) \\ &= 32.5° \end{align*}したがって、抵抗とインダクタの並列接続の合成インピーダンスは \(Z_2 = 8.43 \angle 32.5° \, \Omega\) です。
(3) 抵抗、コンデンサ、インダクタの直列接続：
直列接続では、インピーダンスは加算されます：
\begin{align*} Z_3 &= R + j(X_L - X_C) \\ &= 10 + j(15.7 - 15.9) \\ &= 10 - j0.2 \, \Omega \end{align*}インピーダンスの大きさ：
\begin{align*} |Z_3| &= \sqrt{10^2 + 0.2^2} \\ &= \sqrt{100 + 0.04} \\ &= \sqrt{100.04} \\ &= 10.002 \, \Omega \end{align*}位相角：
\begin{align*} \phi_3 &= \tan^{-1}\left(\frac{-0.2}{10}\right) \\ &= \tan^{-1}(-0.02) \\ &= -1.15° \end{align*}したがって、抵抗、コンデンサ、インダクタの直列接続の合成インピーダンスは \(Z_3 = 10.0 \angle -1.1° \, \Omega\) です。ここでは、インダクタとコンデンサのリアクタンスがほぼ等しいため、回路は共振に近い状態であり、インピーダンスは抵抗にほぼ等しくなっています。
第三種電気主任技術者試験 過去問（類似問題）
周波数 50 Hz の単相交流回路において、電圧計の指示値が 200 V、電流計の指示値が 10 A、電力計の指示値が 1.5 kW であった。
(1) この回路の力率を求めよ。
(2) この回路が直列 RL 回路であるとき、抵抗値 R とインダクタンス L を求めよ。
(3) 力率を0.95（遅れ）に改善するために必要なコンデンサの静電容量を求めよ。
解答：
(1) 回路の力率：
力率は次式で計算できます：
\begin{align*} \cos\phi &= \frac{P}{VI} \\ &= \frac{1500}{200 \times 10} \\ &= \frac{1500}{2000} \\ &= 0.75 \end{align*}したがって、力率は 0.75（遅れ）です。
(2) 抵抗値 R とインダクタンス L：
直列 RL 回路の場合、有効電力は抵抗で消費される電力に等しいです：
\begin{align*} P &= I^2R \\ 1500 &= 10^2 \times R \\ 1500 &= 100 \times R \\ R &= \frac{1500}{100} \\ &= 15 \, \Omega \end{align*}回路のインピーダンスは：
\begin{align*} Z &= \frac{V}{I} \\ &= \frac{200}{10} \\ &= 20 \, \Omega \end{align*}力率から位相角を求めると：
\begin{align*} \phi &= \cos^{-1}(0.75) \\ &= 41.4° \end{align*}インダクティブリアクタンスは：
\begin{align*} X_L &= Z\sin\phi \\ &= 20 \times \sin 41.4° \\ &= 20 \times 0.661 \\ &= 13.2 \, \Omega \end{align*}インダクタンスは：
\begin{align*} L &= \frac{X_L}{\omega} \\ &= \frac{13.2}{2\pi \times 50} \\ &= \frac{13.2}{314} \\ &= 0.042 \, \mathrm{H} = 42 \, \mathrm{mH} \end{align*}したがって、抵抗値は 15 Ω、インダクタンスは 42 mH です。
(3) 力率改善のためのコンデンサの静電容量：
現在の力率角は \(\phi_1 = 41.4°\)、目標の力率角は \(\phi_2 = \cos^{-1}(0.95) = 18.2°\) です。
必要な無効電力の変化は：
\begin{align*} \Delta Q &= P(\tan\phi_1 - \tan\phi_2) \\ &= 1500 \times (\tan 41.4° - \tan 18.2°) \\ &= 1500 \times (0.882 - 0.329) \\ &= 1500 \times 0.553 \\ &= 829.5 \, \mathrm{var} \end{align*}コンデンサによる無効電力は：
\begin{align*} Q_C &= V^2 \omega C \\ \end{align*}したがって、必要なコンデンサの静電容量は：
\begin{align*} C &= \frac{Q_C}{V^2 \omega} \\ &= \frac{829.5}{200^2 \times 2\pi \times 50} \\ &= \frac{829.5}{40000 \times 314} \\ &= \frac{829.5}{12.56 \times 10^6} \\ &= 6.60 \times 10^{-5} \, \mathrm{F} \\ &= 66.0 \, \mu\mathrm{F} \end{align*}したがって、力率を0.95に改善するために必要なコンデンサの静電容量は 66.0 μF です。
演習問題のポイント
本ページでは、第三種電気主任技術者試験における重要分野である「交流回路」について学習しました。交流の基本概念から始まり、各種回路素子の特性、回路解析の手法、そして電力計算に至るまで、体系的に解説しました。